Um teste de 10 questões do tipo certo errado, é respondido por 100 alunos. Quantos alunos cabe esperar acertar exatamente 5 questões?
Resp.: 25 alunos.
Resp.: 25 alunos.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Temos um teste com
questões do tipo certo/errado. - O teste é respondido por
alunos. - Pergunta: quantos alunos cabe esperar acertar exatamente
questões?
Vou assumir (como é usual nesse tipo de problema) que, para cada aluno, cada questão tem probabilidade
de ser acertada e que as respostas entre questões e entre alunos são independentes. Essas informações serão usadas na resolução.
Passo 2
Conceito que vamos usar: distribuição binomial. Quando temos um experimento repetido
vezes, cada tentativa com probabilidade
de “sucesso” (aqui “acertar” uma questão) e tentativas independentes, a probabilidade de ocorrer exatamente
sucessos é dada por
Explicando cada símbolo:
-
é o número de tentativas (aqui, questões). -
é o número de sucessos que queremos (aqui, acertos). -
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (aqui, ). -
é o número de maneiras de escolher quais tentativas são os sucessos; a fórmula é
onde
(fatorial) significa
.
Importante: essa fórmula dá a probabilidade de um único aluno acertar exatamente
questões.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso (
,
,
):
Expliquei:
vem dos
acertos e o outro
vem das
falhas; juntas viram
.
Passo 4
Calculemos
. Usando a definição:
Agora simplificamos passo a passo:
-
, então numerador fica . -
, numerador fica . -
, numerador fica . -
(um dos 2 do denominador), etc.
Se preferir ver direto, multiplicando e dividindo:
Portanto
.
Passo 5
Substituindo na probabilidade:
Simplificando a fração por
:
Convertendo para decimal (para ter uma ideia numérica):
Isto é, a probabilidade de um aluno qualquer acertar exatamente
questões é aproximadamente
(ou
).
Passo 6
Agora queremos o número esperado de alunos, entre os
, que acertam exatamente
questões. Se cada aluno tem probabilidade
de ter exatamente
acertos e os alunos são (assumidamente) independentes, o valor esperado do número de alunos com exatamente
acertos é
Substituindo:
Interpretação: em média espera-se cerca de
alunos com exatamente
acertos quando
alunos fazem o teste.
Passo 7
Na resposta dada no enunciado foi indicado
alunos. Como o valor esperado é
, arredondando ao inteiro mais próximo obtemos
. Em problemas práticos muitas vezes se apresenta o número “esperado” arredondado para um número inteiro de alunos.