Um teste de 10 questões do tipo certo errado, é respondido por 100 alunos. Quantos alunos cabe esperar acertar exatamente 5 questões?
Resp.: 25 alunos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Temos um teste com 10 questões do tipo certo/errado.
  • O teste é respondido por 100 alunos.
  • Pergunta: quantos alunos cabe esperar acertar exatamente 5 questões?
Vou assumir (como é usual nesse tipo de problema) que, para cada aluno, cada questão tem probabilidade 1/2 de ser acertada e que as respostas entre questões e entre alunos são independentes. Essas informações serão usadas na resolução.

Passo 2

Conceito que vamos usar: distribuição binomial. Quando temos um experimento repetido n vezes, cada tentativa com probabilidade p de “sucesso” (aqui “acertar” uma questão) e tentativas independentes, a probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos é dada por
\Pr(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k}.
Explicando cada símbolo:
  • n é o número de tentativas (aqui, n=10 questões).
  • k é o número de sucessos que queremos (aqui, k=5 acertos).
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (aqui, p=\tfrac{1}{2}).
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k tentativas são os sucessos; a fórmula é
\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) significa n\cdot(n-1)\cdots 1.
Importante: essa fórmula dá a probabilidade de um único aluno acertar exatamente k questões.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso ( n=10, k=5, p=\tfrac{1}{2}):
\Pr(X=5)=\binom{10}{5}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{5}\left(1-\tfrac{1}{2}\right)^{5} =\binom{10}{5}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{10}.
Expliquei: \left(\tfrac{1}{2}\right)^{5} vem dos 5 acertos e o outro \left(\tfrac{1}{2}\right)^{5} vem das 5 falhas; juntas viram \left(\tfrac{1}{2}\right)^{10}.

Passo 4

Calculemos \binom{10}{5}. Usando a definição:
\binom{10}{5}=\dfrac{10!}{5!5!} =\dfrac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Agora simplificamos passo a passo:
  • 10/5=2, então numerador fica 2\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6.
  • 8/4=2, numerador fica 2\cdot9\cdot2\cdot7\cdot6.
  • 6/3=2, numerador fica 2\cdot9\cdot2\cdot7\cdot2\cdot1.
  • 2/2=1 (um dos 2 do denominador), etc.
Se preferir ver direto, multiplicando e dividindo:
\binom{10}{5}=\dfrac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{120}=252.
Portanto \binom{10}{5}=252.

Passo 5

Substituindo na probabilidade:
\Pr(X=5)=252\left(\tfrac{1}{2}\right)^{10}=252\cdot\dfrac{1}{1024}=\dfrac{252}{1024}.
Simplificando a fração por 4:
\dfrac{252}{1024}=\dfrac{63}{256}.
Convertendo para decimal (para ter uma ideia numérica):
\dfrac{63}{256}=0{,}24609375.
Isto é, a probabilidade de um aluno qualquer acertar exatamente 5 questões é aproximadamente 0{,}2461 (ou 24{,}609375\%).

Passo 6

Agora queremos o número esperado de alunos, entre os 100, que acertam exatamente 5 questões. Se cada aluno tem probabilidade \Pr(X=5) de ter exatamente 5 acertos e os alunos são (assumidamente) independentes, o valor esperado do número de alunos com exatamente 5 acertos é
\text{esperado}=(\text{número de alunos})\times\Pr(X=5).ú
Substituindo:
\text{esperado}=100\cdot\dfrac{63}{256}=\dfrac{6300}{256}=24{,}609375.
Interpretação: em média espera-se cerca de 24{,}61 alunos com exatamente 5 acertos quando 100 alunos fazem o teste.

Passo 7

Na resposta dada no enunciado foi indicado 25 alunos. Como o valor esperado é 24{,}609375, arredondando ao inteiro mais próximo obtemos 25. Em problemas práticos muitas vezes se apresenta o número “esperado” arredondado para um número inteiro de alunos.

Resposta

\,25;alunos.

Exercícios relacionados