Teste 14.7B O ciclo-propano sofre isomerização a propeno em um processo de primeira ordem. Qual é o tempo necessário para que a concentração de ciclo-propano decreşa de 1,0 \mathrm{~mol} \cdot \mathrm{~L}^{-1} para 0,0050 \mathrm{~mol} \cdot \mathrm{~L}^{-1}, em 500 .{ }^{\circ} \mathrm{C} ? Use os dados da Tabela 14.1.
Tabela 14.1
Substância E_a (kJ/mol) A ( \mathrm{s}^{-1})
Ciclo-propano 272 1,6 \times 10^{15}
Azometano 250 3,98 \times 10^{13}
\mathrm{N}_{2} \mathrm{O} 250 8,3 \times 10^{11}
\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6} 370 1,6 \times 10^{17}

Passo 1

O enunciado descreve a isomerização de ciclo-propano a propeno obedecendo cinética de primeira ordem. Precisamos usar o modelo de Arrhenius para obter a constante de velocidade k a 500\\ ^\circ\mathrm{C} e em seguida aplicar a lei integrada de primeira ordem para achar o tempo t que leva a concentração de 1{,}0, \mathrm{mol\cdot L^{-1}} até 0{,}0050, \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.

Passo 2

A constante de velocidade k vem da equação de Arrhenius:
k = A \exp\!\biggl(-\frac{E_a}{R\,T}\biggr).
Aqui A=1{,}6\times10^{15}, \mathrm{s^{-1}}, E_a=272\times10^3, \mathrm{J\cdot mol^{-1}}, R=8{,}314, \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} e T=500+273{,}15=773{,}15,K. Calculando o expoente:
\frac{E_a}{R\,T}=\frac{272\times10^3}{8{,}314\times773{,}15}\approx42{,}3,
de modo que
k \approx1{,}6\times10^{15}\exp(-42{,}3)\approx6{,}7\times10^{-4}\,\mathrm{s^{-1}}.

Passo 3

Para cinética de ordem um, a lei integrada é
\ln\frac{[{\rm ciclo\text{-}propano}]_0}{[{\rm ciclo\text{-}propano}]} = k\,t.
Substituindo [{\rm ciclo\text{-}propano}]_0=1{,}0 e [{\rm ciclo\text{-}propano}]=0{,}0050, obtemos
\ln\frac{1{,}0}{0{,}0050} = \ln(200)\approx5{,}30,
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t = \frac{1}{k}\ln(200)\approx\frac{5{,}30}{6{,}7\times10^{-4}}\approx7{,}9\times10^{3}\,\mathrm{s}.
Convertendo para horas dá 7{,}9\times10^{3}/3600\approx2{,}2 h.

Resposta

O tempo necessário é aproximadamente 7{,}9\times10^{3} s (cerca de 2{,}2 h).

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