Teste 14.7A Qual é o tempo necessário para que a concentração decresça até 1,0 \% do valor inicial em uma reação de primeira ordem, da forma \mathrm{A} \rightarrow produtos, com k=1,0 \mathrm{~s}^{-1} ?
[Resposta: 4,6 s]

Passo 1

O enunciado pede o tempo necessário para que a concentração de \mathrm{A} decresça até 1,0\% do valor inicial em uma reação de primeira ordem \mathrm{A}\to produtos, sabendo que a constante de velocidade é k = 1,0\\ \mathrm{s}^{-1}. Aqui vamos usar a cinética de primeira ordem e a forma integrada da lei de decaimento exponencial.

Passo 2

A forma integrada da cinética de primeira ordem é
[A](t) = [A]_0\,e^{-k\,t}
onde [A]_0 é a concentração inicial e [A](t) é a concentração no tempo t.

Passo 3

Queremos [A](t) = 0,01\,[A]_0. Então
0,01\,[A]_0 = [A]_0\,e^{-k\,t}
Cancelando [A]_0 de ambos os lados e isolando t, obtemos
0,01 = e^{-k\,t} \quad\Longrightarrow\quad -\;k\,t = \ln(0,01) \quad\Longrightarrow\quad t = -\frac{1}{k}\,\ln(0,01).

Passo 4

Substituindo k = 1,0\\ \mathrm{s}^{-1}:
t = -\frac{1}{1,0}\,\ln(0,01) = -\ln(10^{-2}) = \ln(10^2) = 2\,\ln(10) \approx 4{,}605\\ \mathrm{s}.

Resposta

O tempo necessário é aproximadamente 4{,}6\\ \mathrm{s}.

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