Um teste de aptidão para exercício de certa profissão exige uma sequência de operações a serem executadas rapidamente uma após a outra. Para passar no teste, o candidato deve completá-lo em 80 minutos no máximo. Admita que o tempo para completar o teste seja uma v. a. \mathrm{N}(90 ; 20) (minutos).
(a) Que percentagem dos candidatos tem chance de ser aprovado?
(b) Os 5 \% melhores receberão um certificado especial. Qual o tempo máximo para fazer jus a tal certificado?

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de conclusão X é uma variável aleatória com distribuição normal de média \mu=90 minutos e desvio-padrão \sigma=20 minutos, ou seja
X\sim N(90,\,20^2).
Para passar no teste, o candidato deve completar em no máximo 80 minutos ( X\le 80). Além disso, os 5\% melhores (menores tempos) ganharão um certificado.

Passo 2

Para (a), queremos
P(\text{aprovado}) = P(X\le 80).
Padronizando em relação à normal padrão Z\sim N(0,1),
P(X\le 80) = P\bigl(Z \le \tfrac{80-90}{20}\bigr) = P\bigl(Z \le -0,5\bigr).
Consultando a tabela da normal padrão, P(Z\le -0,5)\approx 0{,}3085.

Passo 3

Convertendo em porcentagem, cerca de 30{,}85\% dos candidatos completam o teste em até 80 minutos, isto é, têm chance de aprovação próxima de 30{,}85\%.

Passo 4

Para (b), o tempo limite c que separa os 5\% melhores obedece
P(X\le c)=0{,}05.
Na normal padrão, o quantil de 5\% é z_{0,05}\approx -1{,}645. Então
c = \mu + z_{0,05}\,\sigma = 90 + (-1{,}645)\times 20 \approx 90 - 32{,}9 =57{,}1\text{ minutos}.

Resposta

(a) 30{,}85\%
(b) 57{,}1 minutos

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