Em um teste de autenticação, 45 de 200 tentativas falharam. Estime um IC de 95 \% para a proporção de falhas.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de tamanho n=200 em que houve 45 falhas, e pede um intervalo de confiança de 95\% para a proporção verdadeira de falhas p. O conteúdo aqui é estimativa de proporção populacional usando a aproximação normal, baseada na fórmula
\hat p \pm z_{\alpha/2}\,\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},
onde \hat p é a proporção amostral e z_{\alpha/2} é o quantil da normal padrão para nível de confiança 1-\alpha.

Passo 2

Calcular a proporção amostral \hat p como razão entre número de falhas e tamanho da amostra:
\hat p = \frac{45}{200} = 0{,}225.

Passo 3

Calcular o erro-padrão da proporção pela fórmula
\mathrm{SE} = \sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}} = \sqrt{\frac{0{,}225\,(1-0{,}225)}{200}} = \sqrt{\frac{0{,}225\times0{,}775}{200}} \approx 0{,}0295.

Passo 4

Para 95\% de confiança, o quantil crítico é
z_{0{,}025} \approx 1{,}96.

Passo 5

Calcular a margem de erro m e o intervalo:
m = z_{0{,}025}\times \mathrm{SE} = 1{,}96\times0{,}0295 \approx 0{,}0579,
logo o intervalo de confiança é
\hat p \pm m = 0{,}225 \pm 0{,}0579 \;\Rightarrow\; [\,0{,}225 - 0{,}0579,\;0{,}225 + 0{,}0579\,] \approx [\,0{,}1671,\;0{,}2829\,].

Resposta

O intervalo de confiança de 95\% para a proporção de falhas é aproximadamente
(0{,}167;0{,}283).

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