teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
\frac{t y-1}{t^{2} y} d t-\frac{1}{t y^{2}} d y=0
\frac{t y-1}{t^{2} y} d t-\frac{1}{t y^{2}} d y=0
Passo 1
O enunciado dá a diferencial
Pergunta: testar se a equação é exata e, se for, resolvê‑la.
Informações dadas e observações importantes: e
(há divisões por
e por
). Vou tratar a equação no formato clássico
.
Informações dadas e observações importantes:
Passo 2
Identifico as funções
e
(colocando tudo em notação mais simples):
Antes de testar a exatidão, é útil simplificar
:
Isso facilita as derivadas parciais que vamos calcular em seguida.
Passo 3
Recordando o teste de exatidão: a equação
é exata se, num domínio apropriado, vale
Vou calcular cada uma das derivadas parciais explicitamente.
Calculo de
:
A derivada da primeira parcela
em relação a
é
. Para a segunda parcela, tratamos
. Derivando em
:
Portanto
Calculo de
:
Derivando em
:
Passo 4
Comparando os resultados temos
logo a equação é exata no domínio onde
e
. Bom — não precisamos de fator integrante; existe uma função potencial
tal que
Passo 5
Agora construo a função potencial
. Integro
em relação a
, tratando
como constante:
Faço cada integral separadamente. Primeiro
. Para a segunda:
Somando e lembrando que a constante de integração pode depender de
, obtemos
onde
é alguma função a determinar.
Passo 6
Determino
usando a condição
. Calculo
:
pois
não depende de
e
derivando em
dá
.
Essa derivada deve ser igual a
, que é
. Assim
Logo
é constante:
.
Passo 7
A função potencial completa é
A solução geral da equação diferencial exata é a equação implícita
ou seja
Se quisermos isolar
explicitamente (quando
), podemos escrever
Lembrete:
e
, e também precisamos de
para a forma explícita.