teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
\frac{t y-1}{t^{2} y} d t-\frac{1}{t y^{2}} d y=0

Passo 1

O enunciado dá a diferencial
\frac{t y-1}{t^{2} y}\,dt-\frac{1}{t y^{2}}\,dy=0.
Pergunta: testar se a equação é exata e, se for, resolvê‑la.
Informações dadas e observações importantes: t\neq 0 e y\neq 0 (há divisões por t e por y). Vou tratar a equação no formato clássico M(t,y)\,dt + N(t,y)\,dy = 0.

Passo 2

Identifico as funções M e N (colocando tudo em notação mais simples):
M(t,y)=\frac{t y-1}{t^{2} y},\qquad N(t,y)=-\frac{1}{t y^{2}}.
Antes de testar a exatidão, é útil simplificar M:
M(t,y)=\frac{t y}{t^{2} y}-\frac{1}{t^{2} y}=\frac{1}{t}-\frac{1}{t^{2}y}.
Isso facilita as derivadas parciais que vamos calcular em seguida.

Passo 3

Recordando o teste de exatidão: a equação M\,dt+N\,dy=0 é exata se, num domínio apropriado, vale
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial t}.
Vou calcular cada uma das derivadas parciais explicitamente.
Calculo de \partial M/\partial y:
M(t,y)=\frac{1}{t}-\frac{1}{t^{2}y}.
A derivada da primeira parcela \frac{1}{t} em relação a y é 0. Para a segunda parcela, tratamos -\frac{1}{t^{2}y}= -\frac{1}{t^{2}}\cdot\frac{1}{y}. Derivando em y:
\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{1}{t^{2}y}\right)=-\frac{1}{t^{2}}\cdot\left(-\frac{1}{y^{2}}\right)=\frac{1}{t^{2}y^{2}}.
Portanto
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{1}{t^{2}y^{2}}.
Calculo de \partial N/\partial t:
N(t,y)=-\frac{1}{t y^{2}}=-\frac{1}{y^{2}}\cdot\frac{1}{t}.
Derivando em t:
\frac{\partial N}{\partial t}=-\frac{1}{y^{2}}\cdot\left(-\frac{1}{t^{2}}\right)=\frac{1}{t^{2}y^{2}}.

Passo 4

Comparando os resultados temos
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{1}{t^{2}y^{2}}=\frac{\partial N}{\partial t},
logo a equação é exata no domínio onde t\neq 0 e y\neq 0. Bom — não precisamos de fator integrante; existe uma função potencial \Phi(t,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial t}=M,\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.

Passo 5

Agora construo a função potencial \Phi(t,y). Integro M em relação a t, tratando y como constante:
\Phi(t,y)=\int M(t,y)\,dt=\int\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t^{2}y}\right)\,dt.
Faço cada integral separadamente. Primeiro \int\frac{1}{t}\,dt=\ln|t|. Para a segunda:
\int -\frac{1}{t^{2}y}\,dt=-\frac{1}{y}\int t^{-2}\,dt=-\frac{1}{y}\left(-\frac{1}{t}\right)=\frac{1}{t y}.
Somando e lembrando que a constante de integração pode depender de y, obtemos
\Phi(t,y)=\ln|t|+\frac{1}{t y}+h(y),
onde h(y) é alguma função a determinar.

Passo 6

Determino h(y) usando a condição \partial \Phi/\partial y = N(t,y). Calculo \partial \Phi/\partial y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\ln|t|+\frac{1}{t y}+h(y)\right)= -\frac{1}{t y^{2}}+h'(y),
pois \ln|t| não depende de y e \frac{1}{t y} derivando em y -\frac{1}{t y^{2}}.
Essa derivada deve ser igual a N(t,y), que é -\frac{1}{t y^{2}}. Assim
-\frac{1}{t y^{2}}+h'(y)=-\frac{1}{t y^{2}} \quad\Rightarrow\quad h'(y)=0.
Logo h(y) é constante: h(y)=C.

Passo 7

A função potencial completa é
\Phi(t,y)=\ln|t|+\frac{1}{t y}+C.
A solução geral da equação diferencial exata é a equação implícita
\Phi(t,y)=\text{constante},
ou seja
\ln|t|+\frac{1}{t y}=C.
Se quisermos isolar y explicitamente (quando C-\ln|t|\neq 0), podemos escrever
\frac{1}{t y}=C-\ln|t|\quad\Rightarrow\quad y=\frac{1}{t\bigl(C-\ln|t|\bigr)}.
Lembrete: t\neq 0 e y\neq 0, e também precisamos de C-\ln|t|\neq 0 para a forma explícita.

Resposta

\ln|t|+\dfrac{1}{t y}=C
y=\dfrac{1}{t\bigl(C-\ln|t|\bigr)}

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