teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
3 x^{2} y^{2} d x+\left(2 x^{3} y+4 y^{3}\right) d y=0

Passo 1

Enunciado e o que é pedido. A equação diferencial dada é
3 x^{2} y^{2}\,dx + \left(2 x^{3} y + 4 y^{3}\right)\,dy = 0.
O que o enunciado pede:
  • Testar se essa equação é exata.
  • Se for exata, resolver (encontrar a solução geral implícita).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Podemos identificar M(x,y) = 3 x^{2} y^{2} (o coeficiente de dx).
  • Podemos identificar N(x,y) = 2 x^{3} y + 4 y^{3} (o coeficiente de dy).

Passo 2

O que significa “equação exata” e por que testar isso. Uma equação da forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = M(x,y)\quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y} = N(x,y).
Um teste prático (quando M e N têm derivadas parciais contínuas) é verificar se
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Se essa igualdade vale, a equação é exata e podemos achar \Phi integrando M em relação a x (tratando y como constante) e ajustando com uma função de y; ou integrando N em relação a y e ajustando com uma função de x. Vou aplicar esse teste passo a passo.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial M}{\partial y}. Como M(x,y) = 3 x^{2} y^{2}, derivamos em relação a y tratando x como constante:
\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \cdot \frac{d}{dy}\big(y^{2}\big) = 3 x^{2} \cdot 2y = 6 x^{2} y.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial N}{\partial x}. Como N(x,y) = 2 x^{3} y + 4 y^{3}, derivamos em relação a x tratando y como constante:
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{dx}\big(2 x^{3} y\big) + \frac{d}{dx}\big(4 y^{3}\big) = 2 y \cdot \frac{d}{dx}\big(x^{3}\big) + 0 = 2 y \cdot 3 x^{2} = 6 x^{2} y.

Passo 5

Concluir sobre a exatidão. Como
\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x^{2} y \quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} y,
temos \dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}. Logo, a equação é exata. Agora vamos resolver encontrando a função potencial \Phi(x,y) tal que \partial \Phi/\partial x = M e \partial \Phi/\partial y = N.

Passo 6

Encontrar \Phi integrando M em relação a x. Integramos
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = M(x,y) = 3 x^{2} y^{2}
em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y) = \int 3 x^{2} y^{2}\,dx = y^{2} \int 3 x^{2}\,dx = y^{2} \cdot x^{3} + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 7

Determinar h(y) usando a condição \partial \Phi/\partial y = N. Calculamos
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{3} y^{2} + h(y)\big) = x^{3} \cdot 2y + h'(y) = 2 x^{3} y + h'(y).
Devemos ter \partial \Phi/\partial y = N(x,y) = 2 x^{3} y + 4 y^{3}. Igualando:
2 x^{3} y + h'(y) = 2 x^{3} y + 4 y^{3} \quad\Rightarrow\quad h'(y) = 4 y^{3}.
Integrando h'(y) em relação a y:
h(y) = \int 4 y^{3}\,dy = y^{4} + C_0,
onde C_0 é uma constante (que normalmente incorporamos na constante final da solução).

Passo 8

Escrever a função potencial completa e a solução implícita. Assim,
\Phi(x,y) = x^{3} y^{2} + y^{4} + C_0.
A solução geral da equação diferencial exata é dada implicitamente por \Phi(x,y) = constante. Então a família de soluções é
x^{3} y^{2} + y^{4} = C,
onde C é constante arbitrária (absorvendo C_0).

Resposta

x^{3} y^{2} + y^{4} = C

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