teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
3 x^{2} y^{2} d x+\left(2 x^{3} y+4 y^{3}\right) d y=0
3 x^{2} y^{2} d x+\left(2 x^{3} y+4 y^{3}\right) d y=0
Passo 1
Enunciado e o que é pedido. A equação diferencial dada é
O que o enunciado pede:
- Testar se essa equação é exata.
- Se for exata, resolver (encontrar a solução geral implícita).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Podemos identificar
(o coeficiente de ). - Podemos identificar
(o coeficiente de ).
Passo 2
O que significa “equação exata” e por que testar isso. Uma equação da forma
é exata se existe uma função potencial
tal que
Um teste prático (quando
e
têm derivadas parciais contínuas) é verificar se
Se essa igualdade vale, a equação é exata e podemos achar
integrando
em relação a
(tratando
como constante) e ajustando com uma função de
; ou integrando
em relação a
e ajustando com uma função de
. Vou aplicar esse teste passo a passo.
Passo 3
Calcular
. Como
, derivamos em relação a
tratando
como constante:
Passo 4
Calcular
. Como
, derivamos em relação a
tratando
como constante:
Passo 5
Concluir sobre a exatidão. Como
temos
. Logo, a equação é exata. Agora vamos resolver encontrando a função potencial
tal que
e
.
Passo 6
Encontrar
integrando
em relação a
. Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Passo 7
Determinar
usando a condição
. Calculamos
Devemos ter
. Igualando:
Integrando
em relação a
:
onde
é uma constante (que normalmente incorporamos na constante final da solução).
Passo 8
Escrever a função potencial completa e a solução implícita. Assim,
A solução geral da equação diferencial exata é dada implicitamente por
constante. Então a família de soluções é
onde
é constante arbitrária (absorvendo
).