teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
\left(4 t^{3} y^{3}-2 t y\right) d t+\left(3 t^{4} y{2}-t{2}\right) d y=0
\left(4 t^{3} y^{3}-2 t y\right) d t+\left(3 t^{4} y{2}-t{2}\right) d y=0
Passo 1
O enunciado pede para testar se a equação diferencial
é exata, e resolver a equação caso ela seja exata. As informações dadas são:
Passo 2
O que significa ser exata? Vou explicar passo a passo de um jeito simples. Uma forma diferencial
é dita exata se existir uma função potencial
tal que
Um teste prático e muito usado é comparar as derivadas parciais cruzadas: se as funções
e
têm derivadas parciais contínuas num domínio, a forma é exata quando
Isso vem da igualdade das derivadas mistas de
:
. Se a igualdade vale, existe (localmente)
e a solução geral da EDO é dada implicitamente por
.
Passo 3
Agora vamos calcular explicitamente as derivadas parciais necessárias. Primeiro
. Como
, tratamos
como constante e derivamos em relação a
:
Calcule cada termo:
Logo
Passo 4
Agora calcule
. Como
, tratamos
como constante e derivamos em relação a
:
Calcule cada termo:
Portanto
Passo 5
Compare os resultados dos passos anteriores:
Como são iguais, a forma diferencial é exata. Ótimo — podemos achar a função potencial
tal que
e
.
Passo 6
Para obter
integramos
em relação a
, tratando
como constante:
Integramos termo a termo:
Assim, obtemos
onde
é uma função de
(constante de integração em relação a
) a determinar.
Passo 7
Agora impomos
para achar
. Calcule
:
Devemos ter
. Igualando:
Isso implica
logo
é constante:
.
Passo 8
Portanto a função potencial é, até constante,
A solução geral implícita da equação diferencial exata é dada por
constante. Podemos escrever a solução simplificada como
onde
é constante arbitrária (troquei
por
para lembrar que é a constante final da solução). Se quiser, fatoramos um pouco:
mas a forma
já é a solução implícita.