teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
\left(4 t^{3} y^{3}-2 t y\right) d t+\left(3 t^{4} y{2}-t{2}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para testar se a equação diferencial
\left(4 t^{3} y^{3}-2 t y\right)\,dt+\left(3 t^{4} y^{2}-t^{2}\right)\,dy=0
é exata, e resolver a equação caso ela seja exata. As informações dadas são:
M(t,y)=4 t^{3} y^{3}-2 t y
N(t,y)=3 t^{4} y^{2}-t^{2}

Passo 2

O que significa ser exata? Vou explicar passo a passo de um jeito simples. Uma forma diferencial M(t,y)\,dt+N(t,y)\,dy é dita exata se existir uma função potencial \Psi(t,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial t}=M(t,y)\qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \Psi}{\partial y}=N(t,y).
Um teste prático e muito usado é comparar as derivadas parciais cruzadas: se as funções M e N têm derivadas parciais contínuas num domínio, a forma é exata quando
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial t}.
Isso vem da igualdade das derivadas mistas de \Psi: \Psi_{ty}=\Psi_{yt}. Se a igualdade vale, existe (localmente) \Psi e a solução geral da EDO é dada implicitamente por \Psi(t,y)=C.

Passo 3

Agora vamos calcular explicitamente as derivadas parciais necessárias. Primeiro \partial M/\partial y. Como M(t,y)=4 t^{3} y^{3}-2 t y, tratamos t como constante e derivamos em relação a y:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(4 t^{3} y^{3}\big)-\frac{\partial}{\partial y}\big(2 t y\big).
Calcule cada termo:
\frac{\partial}{\partial y}\big(4 t^{3} y^{3}\big)=4 t^{3}\cdot 3 y^{2}=12 t^{3} y^{2},
\frac{\partial}{\partial y}\big(2 t y\big)=2 t.
Logo
\frac{\partial M}{\partial y}=12 t^{3} y^{2}-2 t.

Passo 4

Agora calcule \partial N/\partial t. Como N(t,y)=3 t^{4} y^{2}-t^{2}, tratamos y como constante e derivamos em relação a t:
\frac{\partial N}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\big(3 t^{4} y^{2}\big)-\frac{\partial}{\partial t}\big(t^{2}\big).
Calcule cada termo:
\frac{\partial}{\partial t}\big(3 t^{4} y^{2}\big)=3\cdot 4 t^{3}\cdot y^{2}=12 t^{3} y^{2},
\frac{\partial}{\partial t}\big(t^{2}\big)=2 t.
Portanto
\frac{\partial N}{\partial t}=12 t^{3} y^{2}-2 t.

Passo 5

Compare os resultados dos passos anteriores:
\frac{\partial M}{\partial y}=12 t^{3} y^{2}-2 t
\frac{\partial N}{\partial t}=12 t^{3} y^{2}-2 t
Como são iguais, a forma diferencial é exata. Ótimo — podemos achar a função potencial \Psi(t,y) tal que \Psi_t=M e \Psi_y=N.

Passo 6

Para obter \Psi integramos M em relação a t, tratando y como constante:
\Psi(t,y)=\int \big(4 t^{3} y^{3}-2 t y\big)\,dt.
Integramos termo a termo:
\int 4 t^{3} y^{3}\,dt = 4 y^{3}\int t^{3}\,dt = 4 y^{3}\cdot\frac{t^{4}}{4}=t^{4} y^{3},
\int -2 t y\,dt = -2 y\int t\,dt = -2 y\cdot\frac{t^{2}}{2} = -t^{2} y.
Assim, obtemos
\Psi(t,y)=t^{4} y^{3}-t^{2} y + h(y),
onde h(y) é uma função de y (constante de integração em relação a t) a determinar.

Passo 7

Agora impomos \Psi_{y}=N para achar h(y). Calcule \Psi_{y}:
\frac{\partial \Psi}{\partial y}=3 t^{4} y^{2}-t^{2}+h'(y).
Devemos ter \Psi_{y}=N=3 t^{4} y^{2}-t^{2}. Igualando:
3 t^{4} y^{2}-t^{2}+h'(y)=3 t^{4} y^{2}-t^{2}.
Isso implica
h'(y)=0,
logo h(y) é constante: h(y)=C.

Passo 8

Portanto a função potencial é, até constante,
\Psi(t,y)=t^{4} y^{3}-t^{2} y + C.
A solução geral implícita da equação diferencial exata é dada por \Psi(t,y)= constante. Podemos escrever a solução simplificada como
t^{4} y^{3}-t^{2} y = K,
onde K é constante arbitrária (troquei C por K para lembrar que é a constante final da solução). Se quiser, fatoramos um pouco:
t^{2} y\big(t^{2} y^{2}-1\big)=K,
mas a forma t^{4} y^{3}-t^{2} y=K já é a solução implícita.

Resposta

t^{4} y^{3}-t^{2} y = K

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