teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
\left(t^{2}-x\right) d t-t d x=0
\left(t^{2}-x\right) d t-t d x=0
Passo 1
O enunciado pede para testar se a equação diferencial é exata e, se for, resolvê-la. A equação dada é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
O que significa a equação ser exata?
Se existe uma função potencial tal que
Se existe uma função potencial
então a forma é exata. Uma condição prática (necessária e suficiente em domínios apropriados) é
Aqui
significa a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixo, e
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixo.
Passo 3
Calculo as derivadas parciais para testar a condição de exatidão:
Passo 4
Como
(ambas iguais a
), a equação é exata em qualquer domínio onde
e
e suas parciais sejam contínuas (aqui são polinômios, então tudo está bem). Portanto podemos procurar uma função
tal que
Passo 5
Para encontrar
integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
(porque ao integrar em
a constante de integração pode variar com
).
Passo 6
Imponho agora que
. Calculo
a partir da expressão obtida:
Igualando ao
:
Portanto
é constante:
.
Passo 7
A função potencial geral é
A solução geral implícita da equação diferencial exata é dada por
constante. Podemos escrever, absorvendo
numa constante arbitrária
,
Opcionalmente, se quiser isolar
(para
):
Resposta
A equação é exata.