teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
\left(t^{2}-x\right) d t-t d x=0

Passo 1

O enunciado pede para testar se a equação diferencial é exata e, se for, resolvê-la. A equação dada é
\left(t^{2}-x\right)\,dt - t\,dx = 0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
M(t,x)=t^{2}-x\quad\text{(coeficiente de }dt\text{)}
N(t,x)=-t\quad\text{(coeficiente de }dx\text{)}.

Passo 2

O que significa a equação ser exata?
Se existe uma função potencial \Phi(t,x) tal que
d\Phi = \frac{\partial \Phi}{\partial t}\,dt + \frac{\partial \Phi}{\partial x}\,dx = M(t,x)\,dt + N(t,x)\,dx,
então a forma é exata. Uma condição prática (necessária e suficiente em domínios apropriados) é
\frac{\partial M}{\partial x}=\frac{\partial N}{\partial t}.
Aqui \frac{\partial M}{\partial x} significa a derivada parcial de M em relação a x mantendo t fixo, e \frac{\partial N}{\partial t} é a derivada parcial de N em relação a t mantendo x fixo.

Passo 3

Calculo as derivadas parciais para testar a condição de exatidão:
\frac{\partial M}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(t^{2}-x\right)=-1,
\frac{\partial N}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\left(-t\right)=-1.

Passo 4

Como \dfrac{\partial M}{\partial x}=\dfrac{\partial N}{\partial t} (ambas iguais a -1), a equação é exata em qualquer domínio onde M e N e suas parciais sejam contínuas (aqui são polinômios, então tudo está bem). Portanto podemos procurar uma função \Phi(t,x) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial t}=M(t,x)=t^{2}-x \quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial x}=N(t,x)=-t.

Passo 5

Para encontrar \Phi integramos M em relação a t, tratando x como constante:
\Phi(t,x)=\int (t^{2}-x)\,dt = \int t^{2}\,dt - \int x\,dt = \frac{1}{3}t^{3} - x t + h(x),
onde h(x) é uma “constante” de integração que pode depender de x (porque ao integrar em t a constante de integração pode variar com x).

Passo 6

Imponho agora que \dfrac{\partial \Phi}{\partial x}=N(t,x)=-t. Calculo \dfrac{\partial \Phi}{\partial x} a partir da expressão obtida:
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{3}t^{3}-xt+h(x)\right) = -t + h'(x).
Igualando ao N:
-t + h'(x) = -t \quad\Rightarrow\quad h'(x)=0.
Portanto h(x) é constante: h(x)=C_{1}.

Passo 7

A função potencial geral é
\Phi(t,x)=\frac{1}{3}t^{3}-xt + C_{1}.
A solução geral implícita da equação diferencial exata é dada por \Phi(t,x)= constante. Podemos escrever, absorvendo C_{1} numa constante arbitrária C,
\frac{1}{3}t^{3}-xt = C.
Opcionalmente, se quiser isolar x (para t\neq 0):
x=\frac{1}{3}t^{2}-\frac{C}{t},\quad t\neq 0.

Resposta

A equação é exata.
\displaystyle \frac{1}{3}t^{3}-xt=C

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