Um teste de escolaridade tem distribuição normal com média 100 e desvio padrão 10. Determine a probabilidade de um individuo submetido a este teste, obter nota:
Entre 85 e 115 .

Passo 1

O enunciado pede: determinar a probabilidade de que a nota X de um indivíduo esteja entre 85 e 115.
Informações fornecidas:
\text{média } \mu = 100,\qquad \text{desvio padrão } \sigma = 10,éã
e assume-se que X tem distribuição normal.

Passo 2

Estratégia (explicação didática): para trabalhar com probabilidades de uma normal qualquer é mais fácil transformar (padronizar) para a normal padrão Z que tem média 0 e desvio padrão 1. A padronização usa a transformação
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Isto converte qualquer valor de X em um valor de Z que podemos consultar em tabelas da normal padrão ou usar propriedades conhecidas dela.

Passo 3

Aplicando a padronização aos limites 85 e 115. Usamos a fórmula
z=\frac{x-\mu}{\sigma},
onde x é o valor de X que queremos transformar, \mu é a média e \sigma é o desvio padrão.
Para x=85:
z_{85}=\frac{85-100}{10}=\frac{-15}{10}=-1,5.
Para x=115:
z_{115}=\frac{115-100}{10}=\frac{15}{10}=1,5.

Passo 4

Converter a probabilidade pedida para a escala Z. Como a transformação é linear e estritamente crescente, temos
P(85\le X\le115)=P\bigl(-1,5\le Z\le1,5\bigr).

Passo 5

Introduzindo a função de distribuição acumulada da normal padrão, \Phi(z)=P(Z\le z), podemos escrever
P\bigl(-1,5\le Z\le1,5\bigr)=\Phi(1,5)-\Phi(-1,5).
Usamos a simetria da normal padrão, que diz que \Phi(-z)=1-\Phi(z). Aplicando isso:
\Phi(1,5)-\Phi(-1,5)=\Phi(1,5)-\bigl(1-\Phi(1,5)\bigr)=2\Phi(1,5)-1.
Essa fórmula é útil: a probabilidade de Z cair dentro de \pm z é 2\Phi(z)-1.

Passo 6

Agora precisamos do valor de \Phi(1,5). Consultando a tabela da normal padrão (ou uma calculadora estatística), obtemos
\Phi(1,5)\approx 0,9332.
(Expliquei: peguei esse valor da tabela padrão da normal; as tabelas normalmente dão \Phi(1{,}50)=0{,}9332.)

Passo 7

Substituindo na expressão 2\Phi(1,5)-1:
P(85\le X\le115)=2\cdot 0,9332 - 1 = 1,8664 - 1 = 0,8664.
Em porcentagem, isso corresponde a aproximadamente 86{,}64\%.

Resposta

P(85\le X\le115)=0,8664

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