Um teste de escolaridade tem distribuição normal com média 100 e desvio padrão 10. Determine a probabilidade de um individuo submetido a este teste, obter nota:
Entre 85 e 115 .
Entre 85 e 115 .
Passo 1
O enunciado pede: determinar a probabilidade de que a nota
de um indivíduo esteja entre
e
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
e assume-se que
tem distribuição normal.
Passo 2
Estratégia (explicação didática): para trabalhar com probabilidades de uma normal qualquer é mais fácil transformar (padronizar) para a normal padrão
que tem média
e desvio padrão
. A padronização usa a transformação
Isto converte qualquer valor de
em um valor de
que podemos consultar em tabelas da normal padrão ou usar propriedades conhecidas dela.
Passo 3
Aplicando a padronização aos limites
e
. Usamos a fórmula
onde
é o valor de
que queremos transformar,
é a média e
é o desvio padrão.
Para
:
Para
:
Passo 4
Converter a probabilidade pedida para a escala
. Como a transformação é linear e estritamente crescente, temos
Passo 5
Introduzindo a função de distribuição acumulada da normal padrão,
, podemos escrever
Usamos a simetria da normal padrão, que diz que
. Aplicando isso:
Essa fórmula é útil: a probabilidade de
cair dentro de
é
.
Passo 6
Agora precisamos do valor de
. Consultando a tabela da normal padrão (ou uma calculadora estatística), obtemos
(Expliquei: peguei esse valor da tabela padrão da normal; as tabelas normalmente dão
.)
Passo 7
Substituindo na expressão
:
Em porcentagem, isso corresponde a aproximadamente
.