Um teste de escolaridade tem distribuição normal com média 100 e desvio padrão 10. Determine a probabilidade de um individuo submetido a este teste, obter nota:
maior que 120;

Passo 1

O enunciado diz que a nota do teste segue uma distribuição normal com média \mu=100 e desvio padrão \sigma=10.
A pergunta é: qual é a probabilidade de um indivíduo obter nota maior que \,120?

Passo 2

Vamos entender o que isso significa, devagar e com jeitinho. A distribuição normal é aquela “curva em forma de sino”. A média \mu é o centro da curva (o valor típico) e o desvio padrão \sigma mede o quanto os valores normalmente se espalham ao redor da média. Quando pedem a probabilidade de um valor ser maior que \,120, estamos perguntando qual a área da curva normal à direita de \,120.

Passo 3

Para calcular probabilidades com a normal usamos a padronização (transformar na normal padrão). Definimos a variável padronizada
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde X é a nota do indivíduo, \mu é a média e \sigma é o desvio padrão. Aqui \mu=100 e \sigma=10. Aplicando em X=120 temos
Z=\frac{120-100}{10}=\frac{20}{10}=2.
Interpretação: obter nota 120 corresponde a estar 2 desvios-padrão acima da média.

Passo 4

A probabilidade que queremos é
P(X>120)=P\bigg(Z>2\bigg).
Agora usamos a tabela da normal padrão (ou calculadora) que dá a função de distribuição acumulada \Phi(z)=P(Z\le z). Para z=2,00 a tabela fornece \Phi(2)=0,97725 (valor frequentemente arredondado para 0,9772). Então
P(Z>2)=1-\Phi(2)=1-0,97725=0,02275.
Pela simetria da normal também podemos lembrar que P(Z>2)=P(Z<-2), que é cerca de 0,0228.

Passo 5

Arredondando para quatro casas decimais de forma comum, a probabilidade é aproximadamente 0,0228, ou seja cerca de 2,28\%. Isso significa que é bem pouco provável — só umas duas em cada cem pessoas atingem mais de 120 nesse teste.

Resposta

P(X>120)=0,0228

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