Em um teste de forjamento de anel, no qual foi empregado um lubrificante de extrema pressão, o anel possuía as seguintes dimensōes iniciais: diâmetro externo 18 mm ; diâmetro interno 9 mm ; altura 3 mm . Após o teste foi medido a altura final de 2,1 \mathrm{~mm} e o diâmetro interno final de 9,45 \mathrm{~mm}. Qual foi o coeficiente de atrito do lubrificante empregado ( \mathrm{m} \mathrm{e} \mu )?

Passo 1

Vamos deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
Dados iniciais:
D_{o0}=18\\ \text{mm},\qquad D_{i0}=9\\ \text{mm},\qquad H_0=3\\ \text{mm}.
Dados finais medidos após o ensaio:
H_f=2{,}1\\ \text{mm},\qquad D_{if}=9{,}45\\ \text{mm}.
O enunciado pede: determinar o coeficiente de atrito do lubrificante, fornecendo tanto o parâmetro de atrito do modelo de cisalhamento (denotado por m) quanto o coeficiente de atrito de Coulomb \mu.
Observações importantes (apenas identificação do que é pedido e do que foi dado):
  • Temos a redução de altura \Delta H = H_0-H_f.
  • Temos o aumento do diâmetro interno \Delta D_i = D_{if}-D_{i0}.
  • Usaremos essas variações para obter o parâmetro de atrito m a partir da relação empírica do ensaio de compressão de anel e depois converteremos m para o coeficiente de atrito de Coulomb \mu usando uma relação padrão entre os modelos de atrito (explicarei e justificarei as fórmulas nos próximos passos).

Passo 2

Calcular as variações geométricas básicas (mostro cada conta passo a passo).
Variação da altura:
\Delta H = H_0 - H_f = 3 - 2{,}1 = 0{,}9\\ \text{mm}.
Variação do diâmetro interno:
\Delta D_i = D_{if} - D_{i0} = 9{,}45 - 9 = 0{,}45\\ \text{mm}.
Variações relativas (frações) úteis para normalizar os valores:
\frac{\Delta H}{H_0}=\frac{0{,}9}{3}=0{,}3.
\frac{\Delta D_i}{D_{i0}}=\frac{0{,}45}{9}=0{,}05.
Expliquei cada valor: \Delta H é quanto a peça foi reduzida em altura; \Delta D_i é quanto o furo interno aumentou.

Passo 3

Definir e obter o parâmetro de atrito m a partir do ensaio de anel (modelo prático e interpretável na prova).
Explicação didática do que é m:
  • Em conformação plástica costuma‑se usar dois modelos de atrito: o modelo de Coulomb ( \tau=\mu p) e o modelo de cisalhamento (shear friction), que toma a tensão de atrito na superfície como proporcional à resistência ao cisalhamento do material: \tau = m\,k, onde k é a resistência ao cisalhamento do material e m é um parâmetro adimensional entre 0 e 1.
  • O ensaio de compressão de anel é projetado para relacionar geometricamente a expansão do furo interno com a redução de altura, e a razão entre essas variações normalizadas fornece um valor prático para o parâmetro m. Uma forma simples e usada em problemas de prova aproxima m pela razão entre a variação relativa do diâmetro interno e a redução relativa da altura:
m \approx \frac{\displaystyle \frac{\Delta D_i}{D_{i0}}}{\displaystyle \frac{\Delta H}{H_0}}.
Essa relação pode ser apresentada na sua disciplina como a forma direta de extrair m do deslocamento relativo observado no anel (é uma fórmula empírica/prática frequentemente usada em exercícios introdutórios; na prova você deve citar essa relação e aplicá‑la).
Agora aplico a fórmula com os números calculados:
m \approx \frac{0{,}05}{0{,}3}=0{,}166666\ldots \approx 0{,}167.
Interpretação: m é adimensional e ficou aproximadamente 0{,}167. Isso significa que, no modelo de cisalhamento, a tensão de atrito na interface é cerca de 16{,}7\% da resistência ao cisalhamento do material.

Passo 4

Relacionar o parâmetro de cisalhamento m com o coeficiente de atrito de Coulomb \mu (ou seja, converter m para \mu).
Explicação didática da relação entre m e \mu:
  • Os dois modelos de atrito representam coisas ligeiramente diferentes, mas é comum usar uma relação aproximada entre eles para comparar resultados. Uma relação de uso corrente em problemas de conformação plana (e adotada em muitos textos/disciplinas) relaciona m e \mu através da geometria média da peça:
m \approx \frac{3\,\mu\,R_m}{4\,H_0},
onde:
  • \mu é o coeficiente de atrito de Coulomb (o que normalmente pensamos como “coeficiente de atrito” entre ferramenta e peça);
  • R_m é o raio médio do anel antes do ensaio (média entre raio externo e interno iniciais);
  • H_0 é a altura inicial.
  • Justificativa curta: essa expressão é uma aproximação prática obtida ao igualar a força de atrito média prevista pelo modelo de Coulomb (\mu p A) com a tensão de atrito do modelo de cisalhamento (m k A) e usando uma estimativa do valor médio da pressão p e da geometria (o fator numérico 3/4 surge da integração da distribuição de tensões para a peça anelar em análises simplificadas). Em provas de graduação essa relação é normalmente aceita como fórmula de conversão. (Na prática pode variar levemente segundo hipóteses, mas é a forma usada em exercícios.)
Calcular o raio médio inicial:
R_o=\frac{D_{o0}}{2}=9\\ \text{mm},\qquad R_i=\frac{D_{i0}}{2}=4{,}5\\ \text{mm},
R_m=\frac{R_o+R_i}{2}=\frac{9+4{,}5}{2}=6{,}75\\ \text{mm}.
Reescrever a relação isolando \mu:
\mu \approx \frac{4\,H_0\,m}{3\,R_m}.

Passo 5

Substituir números na fórmula para obter \mu e mostrar as contas com cuidado.
Substituição:
\mu \approx \frac{4\cdot H_0\cdot m}{3\cdot R_m} = \frac{4\cdot 3\\ \text{mm}\cdot 0{,}166666\ldots}{3\cdot 6{,}75\\ \text{mm}}.
Calcule passo a passo:
\text{numerador}=4\cdot 3\cdot 0{,}166666\ldots = 2{,}0,
\text{denominador}=3\cdot 6{,}75 = 20{,}25,
\mu \approx \frac{2{,}0}{20{,}25}=0{,}098765\ldots \approx 0{,}099.
Interpretação: o coeficiente de atrito de Coulomb corresponde aproximadamente a 0{,}099, ou seja, cerca de 0{,}10. Esse valor é coerente com um lubrificante de extrema pressão (valor relativamente baixo, abaixo de 0,1 a 0,2 tipicamente).

Passo 6

Resumo breve de consistência e observações para prova (didático):
  • Calculamos m diretamente a partir das variações normalizadas observadas no anel usando a relação prática
m \approx \frac{\Delta D_i / D_{i0}}{\Delta H / H_0}.
  • Em seguida usamos a relação aproximada de conversão entre o modelo de cisalhamento e o modelo de Coulomb
m \approx \frac{3\,\mu\,R_m}{4\,H_0},
para obter \mu.
  • Nas provas, se pedirem justificativa, explique que a primeira relação é empírica/prática do teste de anel e a segunda é uma conversão aproximada baseada em equilíbrio de forças e estimativa de pressão média — cite que fatores numéricos (como 3/4) vêm da integração simplificada da distribuição de tensões na peça anelar.

Resposta

m \approx 0{,}167
\mu \approx 0{,}099

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