Um fabricante de lâmpadas declara que a vida útil média é de 1000 horas. Um órgão regulador deseja verificar se a vida útil é menor do que o anunciado.
a) Formule as hipóteses nula e alternativa.
b) O que significa cometer um erro tipo I neste caso?
c) O que significa cometer um erro tipo II neste caso?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pedidos:
  • Informação dada: um fabricante declara que a vida útil média das lâmpadas é de 1000 horas.
  • A intenção do órgão regulador: verificar se a vida útil é menor do que o anunciado.
  • Perguntas pedidas:
    a) Formular as hipóteses nula e alternativa.
    b) Explicar o que significa cometer um erro tipo I nesse caso.
    c) Explicar o que significa cometer um erro tipo II nesse caso.

Passo 2

Formular as hipóteses. Vou definir a letra \mu como a vida útil média verdadeira (esperança) das lâmpadas produzidas pelo fabricante:
  • \mu = vida útil média verdadeira (em horas).
Há duas formas comuns, equivalentes em intenção, de escrever as hipóteses para este teste unilateral à esquerda (porque o regulador quer saber se é menor):
  • Forma simples (com igualdade na hipótese nula): H_0: \mu = 1000
H_a: \mu < 1000
  • Forma composta (mais comum em testes práticos): H_0: \mu \ge 1000
H_a: \mu < 1000
Explicação do que isso quer dizer, devagarinho: a hipótese nula H_0 é a afirmação que assumimos inicialmente (a declaração do fabricante). A hipótese alternativa H_a é a afirmação que o regulador quer demonstrar (que a média é menor). Em provas, tanto usar H_0: \mu=1000 com H_a:\mu<1000 quanto usar H_0:\mu\ge1000 com H_a:\mu<1000 é aceitável — o importante é que o teste seja unilateral para a esquerda.

Passo 3

O que é erro tipo I (definição geral e fórmula).
  • Definição geral: erro tipo I é rejeitar a hipótese nula H_0 quando ela é verdadeira.
  • Fórmula de probabilidade: a probabilidade de cometer um erro tipo I é chamada de nível de significância e denotada por \alpha: \alpha = P(\text{rejeitar } H_0 \mid H_0 \text{ é verdadeira}).é
  • Interpretação prática no contexto: cometer um erro tipo I significa que o órgão regulador conclui que a vida média das lâmpadas é menor que 1000 horas (ou seja, acusa o fabricante de declarar mais do que é) quando, na realidade, a vida média é de 1000 horas ou mais. Em palavras simples: punir/denunciar o fabricante injustamente. Consequências típicas: prejuízo para o fabricante, retirada de produtos do mercado desnecessária, perda de reputação.

Passo 4

O que é erro tipo II (definição geral e fórmula).
  • Definição geral: erro tipo II é não rejeitar a hipótese nula H_0 quando a hipótese alternativa H_a é verdadeira. Em outras palavras, falhar em detectar um efeito real.
  • Fórmula de probabilidade: a probabilidade de cometer um erro tipo II é denotada por \beta: \beta = P(\text{não rejeitar } H_0 \mid H_a \text{ é verdadeira}).ãé
  • Interpretação prática no contexto: cometer um erro tipo II significa que o órgão regulador conclui que não há evidência suficiente para dizer que a vida média é menor que 1000 horas (logo não toma ação contra o fabricante), quando na verdade a vida média é menor. Em palavras simples: deixar lâmpadas ruins no mercado porque o teste não detectou o problema. Consequências típicas: consumidores comprando lâmpadas com vida útil menor do que o anunciado, riscos de segurança ou insatisfação do público.

Passo 5

Exemplos numéricos e relação entre \alpha, \beta e tamanho da amostra (intuitivo).
  • Exemplo de \alpha: escolher \alpha = 0,05 significa aceitar que, em 5\% das situações em que o fabricante estiver correto (ou seja, H_0 verdadeira), o regulador ainda assim o rejeitará por acaso — isso é um erro tipo I.
  • Exemplo de \beta e poder: o complemento 1-\beta é chamado de poder do teste e é a probabilidade de detectar corretamente que \mu < 1000 quando de fato \mu é um certo valor menor (por exemplo, \mu = 900 horas). Para calcular \beta numericamente é preciso saber a variabilidade (desvio padrão) das vidas e o tamanho da amostra; sem esses dados não dá para calcular \beta.
  • Relação prática: diminuir \alpha (ser mais cauteloso para não acusar o fabricante) tende a aumentar \beta (maior chance de não detectar um problema real), salvo se aumentar o tamanho da amostra n. Ou seja: para reduzir simultaneamente ambos os erros é preciso coletar mais dados.

Passo 6

Resumo prático e incentivo.
  • Hipóteses: tomar H_0: \mu \ge 1000 e H_a: \mu < 1000 é a forma prática mais clara.
  • Erro tipo I = acusar o fabricante injustamente. Erro tipo II = deixar o problema passar e prejudicar consumidores.
    Força nas provas: quando pedirem para escrever as hipóteses escreva claramente \mu e o sinal < ou \ge. Quando falarem de erros, sempre conecte ao que dá de ruim na vida real — isso ajuda a lembrar.

Resposta

a) H_0: \mu \ge 1000 \qquad H_a: \mu < 1000
b) Erro tipo I: rejeitar H_0 quando H_0 é verdadeira; no contexto, concluir que a vida média é menor que 1000 horas quando na verdade a vida média é 1000 horas ou mais (acusação injusta ao fabricante).
c) Erro tipo II: não rejeitar H_0 quando H_a é verdadeira; no contexto, não detectar que a vida média é menor que 1000 horas, ou seja, deixar no mercado lâmpadas com vida útil realmente inferior ao anunciado.

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