Para um teste de hipóteses
Média
: Média > 7
Com variância desconhecida e
. Analise o valor crítico e comente sobre as possibilidades de rejeição ou aceitação de
. Considere
.
Com variância desconhecida e
Passo 1
O enunciado e os dados que temos (tudo que foi fornecido):
- Hipóteses:
- Tamanho da amostra:
. - Variância populacional desconhecida (logo usa-se a estimativa pela variância amostral).
- Nível de significância:
.
O que é pedido: - Determinar/analisar o valor crítico do teste;
- Comentar sobre quando rejeitar ou não rejeitar
(ou seja, explicar a regra de decisão e suas implicações).
Passo 2
Qual estatística de teste usar e por quê (aulas rápidas, passo a passo):
- Como a variância populacional é desconhecida, para testar média usa-se a estatística
(Student), não a . - A estatística de teste é
onde: -
é a média amostral (valor calculado a partir dos dados); -
é o desvio padrão amostral (raiz da variância amostral); -
é o tamanho da amostra (aqui ).
-
- Explicação didática: essa estatística mede quantos desvios-padrão amostrais (normalizados por
) a média amostral está acima do valor hipotético . Quando não se conhece , o denominador não é exato e a distribuição do quociente é a com graus de liberdade .
Passo 3
Graus de liberdade e tipo de teste:
- Graus de liberdade:
. - Tipo de teste: unilateral à direita (porque
); assim a região crítica está na cauda superior da distribuição .
Passo 4
Valor crítico (como obter e valor numérico):
- Para nível
em um teste unilateral à direita com , o valor crítico é o quantil . - Usando uma tabela
ou software, obtém-se - Intuição: há
de probabilidade, sob , de a estatística exceder aproximadamente .
Passo 5
Regra de decisão em forma útil (para a prova):
- Comparação direta com
: - Rejeitar
se - Não rejeitar
se
- Rejeitar
- Reescrevendo em termos de
(útil se na prova der e ):
a condiçãoequivale a Isso é prático porque dá o limite mínimo que a média amostral precisa alcançar (em função do desvio amostral) para rejeitar .
Passo 6
Exemplos numéricos ilustrativos (para visualizar):
- Se
, o limiar para é Logo, se e , rejeita-se . - Se
, limiar é - Se
, limiar é aproximadamente .
Esses exemplos mostram que quanto maior a variabilidade amostral, mais distante a média precisa estar de para que a mesma evidência seja significativa.
Passo 7
Interpretações e comentários importantes para a prova (tom amigo):
- Significado de
: existe de chance de cometer erro do tipo I (rejeitar quando é verdadeira). - Se ao calcular
obtiver um valor maior que , pode-se afirmar — ao nível de — que há evidência suficiente para concluir que . - Se
, não há evidência suficiente para afirmar que ; nesse caso diz-se “não rejeitamos ” (não se prova que é verdadeira, apenas que os dados não fornecem evidência suficiente contra ela). - Sobre
-valor: o -valor é . Se rejeita-se . É só outra forma equivalente de decidir. - Observação prática: sem os dados (
e ) não dá para dizer se rejeita ou não; o que fiz aqui foi dar a regra clara para aplicar no exame.
Resposta
Valor crítico:
Regra de decisão: rejeitar se
; caso contrário não rejeitar
.
Regra de decisão: rejeitar