Para um teste de hipóteses
H_{0}: Média =7
H_{a} : Média > 7
Com variância desconhecida e \mathrm{n}=20. Analise o valor crítico e comente sobre as possibilidades de rejeição ou aceitação de H_{0}. Considere \alpha=0,05.

Passo 1

O enunciado e os dados que temos (tudo que foi fornecido):
  • Hipóteses: H_{0}:\\ \mu=7
H_{a}:\\ \mu>7
  • Tamanho da amostra: n=20.
  • Variância populacional desconhecida (logo usa-se a estimativa pela variância amostral).
  • Nível de significância: \alpha=0,05.
    O que é pedido:
  • Determinar/analisar o valor crítico do teste;
  • Comentar sobre quando rejeitar ou não rejeitar H_{0} (ou seja, explicar a regra de decisão e suas implicações).

Passo 2

Qual estatística de teste usar e por quê (aulas rápidas, passo a passo):
  • Como a variância populacional é desconhecida, para testar média usa-se a estatística t (Student), não a z.
  • A estatística de teste é t_{\text{obs}}=\frac{\bar{X}-7}{S/\sqrt{n}},onde:
    • \bar{X} é a média amostral (valor calculado a partir dos dados);
    • S é o desvio padrão amostral (raiz da variância amostral);
    • n é o tamanho da amostra (aqui n=20).
  • Explicação didática: essa estatística mede quantos desvios-padrão amostrais (normalizados por \sqrt{n}) a média amostral está acima do valor hipotético 7. Quando não se conhece \sigma, o denominador não é exato e a distribuição do quociente é a t com graus de liberdade \nu=n-1.

Passo 3

Graus de liberdade e tipo de teste:
  • Graus de liberdade: \nu=n-1=20-1=19.
  • Tipo de teste: unilateral à direita (porque H_{a}:\mu>7); assim a região crítica está na cauda superior da distribuição t.

Passo 4

Valor crítico (como obter e valor numérico):
  • Para nível \alpha=0,05 em um teste unilateral à direita com \nu=19, o valor crítico é o quantil t_{1-\alpha,\,\nu}=t_{0,95,\,19}.
  • Usando uma tabela t ou software, obtém-se t_{0,95,\,19}\approx1,729.
  • Intuição: há 5\% de probabilidade, sob H_{0}, de a estatística t exceder aproximadamente 1,729.

Passo 5

Regra de decisão em forma útil (para a prova):
  • Comparação direta com t:
    • Rejeitar H_{0} se t_{\text{obs}}>\,1,729.
    • Não rejeitar H_{0} se t_{\text{obs}}\le 1,729.
  • Reescrevendo em termos de \bar{X} (útil se na prova der \bar{X} e S):
    a condição t_{\text{obs}}>1,729 equivale a \bar{X}>7+1{,}729\cdot\frac{S}{\sqrt{20}}.Isso é prático porque dá o limite mínimo que a média amostral precisa alcançar (em função do desvio amostral) para rejeitar H_{0}.

Passo 6

Exemplos numéricos ilustrativos (para visualizar):
  • Se S=1, o limiar para \bar{X} é 7+1{,}729\cdot\frac{1}{\sqrt{20}}\approx7+1{,}729\cdot0{,}2236\approx7+0{,}386\approx7{,}386.Logo, se \bar{X}\gtrsim7{,}39 e S\approx1, rejeita-se H_{0}.
  • Se S=2, limiar é 7+1{,}729\cdot\frac{2}{\sqrt{20}}\approx7+0{,}773\approx7{,}773.
  • Se S=3, limiar é aproximadamente 8{,}16.
    Esses exemplos mostram que quanto maior a variabilidade amostral S, mais distante a média precisa estar de 7 para que a mesma evidência seja significativa.

Passo 7

Interpretações e comentários importantes para a prova (tom amigo):
  • Significado de \alpha=0,05: existe 5\% de chance de cometer erro do tipo I (rejeitar H_{0} quando H_{0} é verdadeira).
  • Se ao calcular t_{\text{obs}} obtiver um valor maior que 1{,}729, pode-se afirmar — ao nível de 5\% — que há evidência suficiente para concluir que \mu>7.
  • Se t_{\text{obs}}\le1{,}729, não há evidência suficiente para afirmar que \mu>7; nesse caso diz-se “não rejeitamos H_{0}” (não se prova que H_{0} é verdadeira, apenas que os dados não fornecem evidência suficiente contra ela).
  • Sobre p-valor: o p-valor é p=1-F_{t_{19}}(t_{\text{obs}}). Se p<0{,}05 rejeita-se H_{0}. É só outra forma equivalente de decidir.
  • Observação prática: sem os dados ( \bar{X} e S) não dá para dizer se rejeita ou não; o que fiz aqui foi dar a regra clara para aplicar no exame.

Resposta

Valor crítico: t_{\text{crit}}=t_{0,95,\,19}\approx1{,}729
Regra de decisão: rejeitar H_{0} se t_{\text{obs}}=\dfrac{\bar{X}-7}{S/\sqrt{20}}>1{,}729; caso contrário não rejeitar H_{0}.

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