Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com média 100 e desvio padrão 10. Determine a probabilidade de um individuo submetido ao teste ter nota:
entre 85 e 115;
entre 85 e 115;
Passo 1
O enunciado diz que a nota do teste segue uma distribuição normal com média
e desvio padrão
. Pede-se a probabilidade de um indivíduo ter nota entre 85 e 115, isto é, calcular
Informações relevantes:
,
, intervalo
.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): para qualquer variável aleatória
com distribuição normal
é conveniente transformar para a variável normal padrão
, definida por
O motivo: a tabela da normal padrão (ou calculadora) dá probabilidades para
, não diretamente para
. Na transformação, subtraímos a média (centralizamos) e dividimos pelo desvio padrão (normalizamos). Aqui cada símbolo significa:
-
= média da distribuição de (valor central), -
= desvio padrão de (medida de dispersão), -
= variável normal padrão com média e desvio padrão .
Um exemplo rápido para fixar: se
, então
. Se
, então
. Isso torna as interpretações mais intuitivas.
Passo 3
Calcular os z‑scores (padronizar) para os extremos do intervalo usando a fórmula
Para
:
Para
:
Passo 4
Converter a probabilidade pedida em termos de
:
Seja
a função distribuição da normal padrão:
. Então
Usamos a simetria da normal padrão:
. Assim
Ou seja, precisamos do valor
que se obtém em tabela da normal padrão ou calculadora.
Passo 5
Valor tabelado:
(tabelas usuais dão
arredondado). Aplicando na fórmula:
Em porcentagem, isso é aproximadamente
.
Dica prática para a prova: já que o intervalo
é centrado na média e tem largura
desvios‑padrão, você pode memorizar que a área dentro de
da média é cerca de
(fica entre a regra empírica para
e
).