Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com média 100 e desvio padrão 10. Determine a probabilidade de um individuo submetido ao teste ter nota:
entre 85 e 115;

Passo 1

O enunciado diz que a nota do teste segue uma distribuição normal com média \mu=100 e desvio padrão \sigma=10. Pede-se a probabilidade de um indivíduo ter nota entre 85 e 115, isto é, calcular
P(85 \le X \le 115).
Informações relevantes: \mu=100, \sigma=10, intervalo [85,115].

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): para qualquer variável aleatória X com distribuição normal N(\mu,\sigma^2) é conveniente transformar para a variável normal padrão Z, definida por
Z = \frac{X-\mu}{\sigma}.
O motivo: a tabela da normal padrão (ou calculadora) dá probabilidades para Z, não diretamente para X. Na transformação, subtraímos a média (centralizamos) e dividimos pelo desvio padrão (normalizamos). Aqui cada símbolo significa:
  • \mu = média da distribuição de X (valor central),
  • \sigma = desvio padrão de X (medida de dispersão),
  • Z = variável normal padrão com média 0 e desvio padrão 1.
Um exemplo rápido para fixar: se X=\mu, então Z=0. Se X=\mu+\sigma, então Z=1. Isso torna as interpretações mais intuitivas.

Passo 3

Calcular os z‑scores (padronizar) para os extremos do intervalo usando a fórmula
z=\frac{x-\mu}{\sigma}.
Para x=85:
z_{85}=\frac{85-100}{10}=\frac{-15}{10}=-1{,}5.
Para x=115:
z_{115}=\frac{115-100}{10}=\frac{15}{10}=1{,}5.

Passo 4

Converter a probabilidade pedida em termos de Z:
P(85 \le X \le 115)=P\big(-1{,}5 \le Z \le 1{,}5\big).
Seja \Phi(t) a função distribuição da normal padrão: \Phi(t)=P(Z\le t). Então
P\big(-1{,}5 \le Z \le 1{,}5\big)=\Phi(1{,}5)-\Phi(-1{,}5).
Usamos a simetria da normal padrão: \Phi(-a)=1-\Phi(a). Assim
\Phi(1{,}5)-\Phi(-1{,}5)=\Phi(1{,}5)-\big(1-\Phi(1{,}5)\big)=2\Phi(1{,}5)-1.
Ou seja, precisamos do valor \Phi(1{,}5) que se obtém em tabela da normal padrão ou calculadora.

Passo 5

Valor tabelado: \Phi(1{,}5)\approx 0{,}93319 (tabelas usuais dão 0{,}9332 arredondado). Aplicando na fórmula:
P(85 \le X \le 115)=2\cdot 0{,}93319 - 1 = 0{,}86638\approx 0{,}8664.
Em porcentagem, isso é aproximadamente 86{,}64\%.
Dica prática para a prova: já que o intervalo [85,115] é centrado na média e tem largura \pm 1{,}5 desvios‑padrão, você pode memorizar que a área dentro de 1{,}5\sigma da média é cerca de 86{,}6\% (fica entre a regra empírica para 1\sigma e 2\sigma).

Resposta

0,8664 (aprox. 86,64\%)

Exercícios relacionados