Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com média 100 e desvio padrão 10. Determine a probabilidade de um individuo submetido ao teste ter nota:
maior que 120;

Passo 1

O enunciado dá que a nota X em um teste segue uma distribuição normal com média \mu=100 e desvio padrão \sigma=10. O que a questão pede é a probabilidade de um indivíduo ter nota maior que 120; isto é, calcular
P(X>120).

Passo 2

Para resolver, vamos transformar a variável X numa variável normal padrão Z. A ideia: a distribuição normal padrão tem média 0 e desvio padrão 1 e as tabelas/recursos nos dão probabilidades para ela. A fórmula de padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde \mu é a média e \sigma é o desvio padrão. Aqui \mu=100 e \sigma=10. Então padronizando 120 obtemos o escore-z:
z=\frac{120-100}{10}=\frac{20}{10}=2.
Interpretação rápida: z=2 significa que 120 está duas vezes o desvio padrão acima da média.

Passo 3

Usando a padronização, a probabilidade pedida vira uma probabilidade com respeito a Z:
P(X>120)=P\!\left(Z>2\right).
Para uma variável Z normal padrão definimos a função de distribuição acumulada \Phi(z)=P(Z\le z). Assim
P(Z>2)=1-\Phi(2).
Uma propriedade útil (simetria da normal) é \Phi(-2)=1-\Phi(2), então também podemos escrever P(Z>2)=\Phi(-2).

Passo 4

Agora precisamos do valor numérico de \Phi(2). Das tabelas da normal padrão (ou calculadora) sabemos o valor aproximado
\Phi(2)\approx 0,97725.
Logo
P(Z>2)=1-0,97725=0,02275\approx 0,0228.
Em porcentagem, isso corresponde a cerca de 2{,}28\%. Intuição: é uma probabilidade pequena porque 120 está bem à direita da média (duas sigmas acima).

Resposta

0,0228

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