1. Um teste realizado com 280 pessoas consistia em “adivinhar” em qual das mãos (ambas fechadas) do pesquisador estava uma moeda. Em 44% das tentativas a identificação foi correta da mão selecionada. Pede-se um intervalo de 90 \% de confiança para proporção.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de tamanho n=280 em que a proporção de acertos foi \hat p=0,44. O objetivo é construir um intervalo de confiança de 90\% para a proporção verdadeira p usando a aproximação normal.

Passo 2

Precisamos verificar se podemos usar a aproximação normal ao estimador de proporção. Para isso, calculamos
n\hat p = 280 \times 0,44 = 123{,}2,
n(1-\hat p) = 280 \times 0,56 = 156{,}8.
Ambos são maiores que 5, logo a aproximação é válida.

Passo 3

O erro-padrão de \hat{p} é dado por
\mathrm{SE} = \sqrt{\frac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}.
Substituindo,
\mathrm{SE} = \sqrt{\frac{0,44 \times 0,56}{280}} \approx 0,0297.

Passo 4

Para 90\% de confiança, o valor crítico é
z_{1-\frac{\alpha}{2}} = z_{0,95} \approx 1,645.

Passo 5

A margem de erro fica
E = z_{0,95}\,\mathrm{SE} \approx 1,645 \times 0,0297 \approx 0,049.
Logo os limites do intervalo são
\hat p - E \approx 0,44 - 0,049 = 0,391,
\hat p + E \approx 0,44 + 0,049 = 0,489.

Resposta

O intervalo de confiança de 90\% para a proporção verdadeira p é aproximadamente
(0,391;0,489).

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