Teste da Segunda Derivada para Funções de uma Variável Real: Suponha que f^prime prime seja contínua na proximidade de p.
Se f^prime(p)=0 e f^prime prime(p)>0, então p é ponto de mínimo local de f.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se f é duas vezes diferenciável numa vizinhança de p, com f'' contínua em p, e satisfaz
f'(p)=0 e f''(p)>0,
então p é ponto de mínimo local de f.
Conteúdo: usamos continuidade de f'' para obter positividade de f'' num intervalo e, a partir disso, inferir monotonicidade de f', o que garante que f decresce antes de p e cresce depois de p.

Passo 2

Como f'' é contínua em p e f''(p)>0, existe de<a>0 tal que, para todo x com lvert x-prvert<de<a, valha
f''(x)>0
Mas f''>0 em (p-de<a,p+de<a) implica que f' é estritamente crescente nesse intervalo. Em particular, para x<p temos
f'(x)<f'(p)=0,
e para x>p temos
f'(x)>f'(p)=0

Passo 3

O fato de f'(x)<0 quando x<p diz que f decresce em (p-de<a,p], e f'(x)>0 quando x>p diz que f cresce em [p,p+de<a). Assim f atinge em p um ponto mais baixo do que em seus arredores, ou seja, p é ponto de mínimo local.

Resposta

p é ponto de mínimo local de f.

Exercícios relacionados