Teste da Segunda Derivada para Funções de uma Variável Real: Suponha que
seja contínua na proximidade de
.
Se
e
, então
é ponto de mínimo local de
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é duas vezes diferenciável numa vizinhança de
, com
contínua em
, e satisfaz
então
é ponto de mínimo local de
.
Conteúdo: usamos continuidade de para obter positividade de
num intervalo e, a partir disso, inferir monotonicidade de
, o que garante que
decresce antes de
e cresce depois de
.
Conteúdo: usamos continuidade de
Passo 2
Como
é contínua em
e
, existe
tal que, para todo
com
, valha
Mas
em
implica que
é estritamente crescente nesse intervalo. Em particular, para
temos
e para
temos
Passo 3
O fato de
quando
diz que
decresce em
, e
quando
diz que
cresce em
. Assim
atinge em
um ponto mais baixo do que em seus arredores, ou seja,
é ponto de mínimo local.