Considere a função f(x, y)=x^2-2 x y+2 y^2.
Sendo gamma(t)=(cos t, sen t), determine (f circ gamma)^prime(pi3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, f(x, y) = x^2 - 2xy + 2y^2 , e uma curva parametrizada por gamma(t) = (cos t, sin t) . O que a gente precisa fazer é calcular a derivada da composição dessas funções, ou seja, (f circ gamma)' no ponto t = pi3 . Para isso, vamos precisar saber sobre composição de funções, derivadas e um pouquinho de trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa f circ gamma . Isso quer dizer que vamos substituir as coordenadas da curva gamma(t) na função f . Então, temos:
(f circ gamma)(t) = f(gamma(t)) = f(cos t, sin t)
Agora, vamos substituir x = cos t e y = sin t na função f(x, y) :
f(cos t, sin t) = (cos t)^2 - 2(cos t)(sin t) + 2(sin t)^2

Passo 3

Para achar a derivada dessa expressão em relação a t , precisamos derivar cada termo com respeito a t . Vamos lembrar que:
  • A derivada de cos t é -sin t .
  • A derivada de sin t é cos t .
Então, derivando cada termo:
ddt [(cos t)^2] = 2cos t cdot (-sin t) = -2cos t sin t
ddt [-2(cos t)(sin t)] = -2[( -sin t)(sin t) + cos t cdot cos t] = -2[-sin^2 t + cos^2 t] = 2sin^2 t - 2cos^2 t
ddt [2(sin t)^2] = 2 cdot 2sin t cos t = 4sin t cos t

Passo 4

Agora, vamos somar todas essas derivadas para obter a derivada total de f circ gamma :
-2cos t sin t + 2sin^2 t - 2cos^2 t + 4sin t cos t
Vamos simplificar:
(-2cos t sin t + 4cos t sin t) + 2sin^2 t - 2cos^2 t = 2cos t sin t + 2sin^2 t - 2cos^2 t

Passo 5

Agora, queremos avaliar essa derivada no ponto t = pi3 . Vamos calcular cada termo separadamente lembrando que:
cos(pi3) = 12, sin(pi3) = raiz32
Substituindo:
2 cdot 12 cdot raiz32 + 2 ( raiz32 )^2 - 2 ( 12 )^2
Calculando cada parte:
2 cdot 12 cdot raiz32 = raiz32
2 ( 34 ) = 32
-2 ( 14 ) = -12
Somando tudo:
raiz32 + 32 - 12 = raiz32 + 1

Resposta

A derivada de f circ gamma no ponto t = pi3 é raiz32 + 1 .

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