Considere a função
.
Sendo
, determine
.
Sendo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis,
, e uma curva parametrizada por
. O que a gente precisa fazer é calcular a derivada da composição dessas funções, ou seja,
no ponto
. Para isso, vamos precisar saber sobre composição de funções, derivadas e um pouquinho de trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que vamos substituir as coordenadas da curva
na função
. Então, temos:
Agora, vamos substituir
e
na função
:
Passo 3
Para achar a derivada dessa expressão em relação a
, precisamos derivar cada termo com respeito a
. Vamos lembrar que:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então, derivando cada termo:
Passo 4
Agora, vamos somar todas essas derivadas para obter a derivada total de
:
Vamos simplificar:
Passo 5
Agora, queremos avaliar essa derivada no ponto
. Vamos calcular cada termo separadamente lembrando que:
Substituindo:
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Resposta
A derivada de
no ponto
é
.