Encontre uma função potencial para o campo F(x, y)=(3+2 x y, x^2-3 y^2). Determine se o campo é ou não conservativo.

Passo 1

O enunciado pede para achar uma função potencial f(x,y) para o campo
F(x,y)=l(P(x,y),,Q(x,y)r) = l(3 + 2xy,;x^2-3y^2r)
e decidir se F é conservativo. O conteúdo é reconhecimento de campo conservativo (verificando igualdade das derivadas parciais mistas em domínio simplesmente conexo) e depois integração para obter f.

Passo 2

Verificamos se
partial Ppartial y = partial partial y(3 + 2xy) = 2x
e
partial Qpartial x = partial partial x(x^2-3y^2) = 2x.
Como estão iguais e o domínio é R^2 (simplesmente conexo), concluímos que F é conservativo.

Passo 3

Procuramos f(x,y) tal que
partial fpartial x(x,y) = P(x,y) = 3 + 2xy
Integrando em x,
f(x,y) = integral(3 + 2xy),dx = 3x + x^2y + h(y),
onde h(y) é uma função só de y.

Passo 4

Agora impondo
partial fpartial y(x,y) = Q(x,y) = x^2-3y^2,
temos
partial partial yl(3x + x^2y + h(y)r) = x^2 + h'(y) ;stackrel!=;x^2-3y^2
Logo h'(y) = -3y^2, e integrando em y vem
h(y) = integral -3y^2,dy = -y^3 + C

Passo 5

Substituindo em f(x,y), obtemos
f(x,y) = 3x + x^2y - y^3 + C,
que é a função potencial geral. Como C é constante arbitrária, podemos escolher C=0 para simplicidade.

Resposta

A função potencial pode ser
f(x,y) = 3x + x^2y - y^3,
e o campo F é conservativo.

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