Encontre uma função potencial para o campo
. Determine se o campo é ou não conservativo.
Passo 1
O enunciado pede para achar uma função potencial
para o campo
e decidir se
é conservativo. O conteúdo é reconhecimento de campo conservativo (verificando igualdade das derivadas parciais mistas em domínio simplesmente conexo) e depois integração para obter
.
Passo 2
Verificamos se
e
.
Como estão iguais e o domínio é (simplesmente conexo), concluímos que
é conservativo.
e
Como estão iguais e o domínio é
Passo 3
Procuramos
tal que
Integrando em
,
onde
é uma função só de
.
Passo 4
Agora impondo
temos
Logo
, e integrando em
vem
Passo 5
Substituindo em
, obtemos
que é a função potencial geral. Como
é constante arbitrária, podemos escolher
para simplicidade.
Resposta
A função potencial pode ser
e o campo
é conservativo.