Teste se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} n^{2} 2^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado fornece a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} n^{2} 2^{n}}{n!}
e pede para classificar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes dadas:
  • O sinal alterna por causa de (-1)^{n+1}.
  • Os termos de módulo são
b_n=\left|\frac{(-1)^{n+1} n^{2} 2^{n}}{n!}\right|=\frac{n^{2}2^{n}}{n!}.

Passo 2

Estratégia: primeiro testar convergência absoluta, isto é, testar a série de termos positivos \sum_{n=1}^{\infty} b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^{2}2^{n}}{n!}. Se essa série convergir, a série original converge absolutamente (e portanto não é apenas condicional). Para \sum b_n vou usar o teste da razão, que é muito eficaz para termos com fatorial.
Lembrete do teste da razão (explicação curta e prática):
  • Para uma série de termos positivos \sum b_n, define-se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}.
  • Se L<1, a série converge; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.
    Isso funciona porque, grosso modo, compara o comportamento dos termos com uma progressão geométrica.

Passo 3

Calcular a razão \dfrac{b_{n+1}}{b_n} passo a passo:
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\dfrac{(n+1)^{2}2^{\,n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{n^{2}2^{\,n}}{n!}}.
Agora simplificar usando cancelamento de fatores:
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\cdot 2\cdot\frac{n!}{(n+1)!}.
Como \dfrac{n!}{(n+1)!}=\dfrac{1}{n+1}, segue
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\cdot 2\cdot\frac{1}{n+1} =2\cdot\frac{n+1}{n^{2}}.
Reescrevendo para visualizar os termos que vão a zero:
\frac{b_{n+1}}{b_n}=2\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right).

Passo 4

Agora tomo o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}2\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)=2(0+0)=0.
Como L=0<1, pelo teste da razão a série \sum_{n=1}^{\infty} b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^{2}2^{n}}{n!} converge.
Interpretação: a série dos módulos converge, então a série original converge absolutamente. Intuição rápida: o fatorial n! cresce muito mais rápido que qualquer exponencial 2^{n} multiplicada por um polinômio n^{2}, por isso os termos vão a zero rápido o suficiente para garantir convergência absoluta.

Passo 5

Conclusão final: sendo a série absolutamente convergente, ela converge (não é apenas condicional). Além disso, convergência absoluta é a classificação mais forte possível nesse contexto.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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