Estratégia: primeiro testar convergência absoluta, isto é, testar a série de termos positivos \sum_{n=1}^{\infty} b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^{2}2^{n}}{n!}. Se essa série convergir, a série original converge absolutamente (e portanto não é apenas condicional). Para \sum b_n vou usar o teste da razão, que é muito eficaz para termos com fatorial.
Lembrete do teste da razão (explicação curta e prática):
Para uma série de termos positivos \sum b_n, define-se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}.
Se L<1, a série converge; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.
Isso funciona porque, grosso modo, compara o comportamento dos termos com uma progressão geométrica.
Passo 3
Calcular a razão \dfrac{b_{n+1}}{b_n} passo a passo:
Como L=0<1, pelo teste da razão a série \sum_{n=1}^{\infty} b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^{2}2^{n}}{n!} converge.
Interpretação: a série dos módulos converge, então a série original converge absolutamente. Intuição rápida: o fatorial n! cresce muito mais rápido que qualquer exponencial 2^{n} multiplicada por um polinômio n^{2}, por isso os termos vão a zero rápido o suficiente para garantir convergência absoluta.
Passo 5
Conclusão final: sendo a série absolutamente convergente, ela converge (não é apenas condicional). Além disso, convergência absoluta é a classificação mais forte possível nesse contexto.