Teste se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
  • \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2 n}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para testar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\cdot4\cdot6\cdots 2n}{n!}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações dadas:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{2\cdot4\cdot6\cdots 2n}{n!}.
  • Todos os fatores no numerador são números pares até 2n, e o denominador é n!.

Passo 2

Simplificar o numerador: escrever o produto de pares de forma factorizada. Note que
2\cdot4\cdot6\cdots 2n=\prod_{k=1}^{n}(2k).
Fatorando o 2 de cada termo do produto fica
\prod_{k=1}^{n}(2k)=2^n\prod_{k=1}^{n}k=2^n n!.
Explicação didática: cada um dos n fatores 2k contribui com um fator 2, portanto há um total de 2^n. O produto restante \prod_{k=1}^{n}k é exatamente n!.

Passo 3

Substituir essa simplificação no termo geral a_n:
a_n=\frac{2\cdot4\cdot6\cdots 2n}{n!}=\frac{2^n n!}{n!}=2^n.
Então a série original é
\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\sum_{n=1}^{\infty} 2^n.

Passo 4

Aplicar o teste necessário para convergência (teste da divergência): uma série \sum a_n só pode convergir se o termo geral a_n tende a 0 quando n\to\infty. Aqui
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} 2^n=+\infty\neq 0.
Portanto a série diverge pelo teste da divergência. Explicação prática: os termos não vão para zero, logo somá-los não pode dar um número finito.

Passo 5

Interpretação em termos de séries geométricas: a série \sum_{n=1}^{\infty}2^n é uma série geométrica com razão r=2. Uma série geométrica \sum r^n converge somente se |r|<1. Aqui |r|=2>1, então diverge. Isso confirma o resultado anterior de outra forma.

Passo 6

Conclusão sobre convergência absoluta/condicional: todos os termos a_n são positivos, logo a série de valores absolutos é a mesma série. Como a série \sum a_n diverge, ela não é absolutamente convergente nem condicionalmente convergente — simplesmente diverge.

Resposta

Divergente

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