Teste se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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Passo 1
O enunciado pede para testar se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O termo geral da série é
. - Todos os fatores no numerador são números pares até
, e o denominador é .
Passo 2
Simplificar o numerador: escrever o produto de pares de forma factorizada. Note que
Fatorando o
de cada termo do produto fica
Explicação didática: cada um dos
fatores
contribui com um fator
, portanto há um total de
. O produto restante
é exatamente
.
Passo 3
Substituir essa simplificação no termo geral
:
Então a série original é
Passo 4
Aplicar o teste necessário para convergência (teste da divergência): uma série
só pode convergir se o termo geral
tende a
quando
. Aqui
Portanto a série diverge pelo teste da divergência. Explicação prática: os termos não vão para zero, logo somá-los não pode dar um número finito.
Passo 5
Interpretação em termos de séries geométricas: a série
é uma série geométrica com razão
. Uma série geométrica
converge somente se
. Aqui
, então diverge. Isso confirma o resultado anterior de outra forma.
Passo 6
Conclusão sobre convergência absoluta/condicional: todos os termos
são positivos, logo a série de valores absolutos é a mesma série. Como a série
diverge, ela não é absolutamente convergente nem condicionalmente convergente — simplesmente diverge.
Resposta
Divergente