Determine a convergência ou divergência das seguintes séries alternadas.
Passo 1
O enunciado dá a série alternada
e pede que se determine se ela converge ou diverge. Vou listar as informações importantes que temos:
- O termo geral da série é
. - A parte positiva (módulo) dos termos é
. - A série é alternada por causa do fator
.
O objetivo é decidir se a série converge (e se for o caso, se converge absolutamente ou apenas condicionalmente).
Passo 2
Apresentar o critério que vou usar (de forma didática).
- O Critério de Leibniz (ou teste da série alternada) diz: se
é uma sequência com para todo , (ou seja, é não crescente) e , então a série alternada
converge.
Explicando em palavras: para séries alternadas basta mostrar que os módulos dos termos vão para zero e não aumentam; isso garante convergência (às vezes chamada de convergência condicional, ainda veremos a precisão).
Explicando em palavras: para séries alternadas basta mostrar que os módulos dos termos vão para zero e não aumentam; isso garante convergência (às vezes chamada de convergência condicional, ainda veremos a precisão).
Passo 3
Verificar que
é positiva e monótona decrescente.
- Positividade: para todo
tem , logo . - Monotonicidade: para comparar
e note que . Como a função é decrescente para , segue
Portanto
é estritamente decrescente.
Passo 4
Verificar que
.
Calcular o limite:
Calcular o limite:
pois o denominador cresce sem limite e o recíproco tende a zero. Isso satisfaz a segunda condição do critério de Leibniz.
Passo 5
Concluir a convergência pela prova do Passo 2–4.
Pelo Critério de Leibniz, como ,
é decrescente e
, a série alternada
Pelo Critério de Leibniz, como
converge. (Dica útil para prova: o resto ao truncar a série depois de
termos em valor absoluto é menor que
.)
Passo 6
Verificar se a convergência é absoluta ou condicional.
- A série da soma dos módulos é
- Faço uma comparação por limite com a série harmônica
. Calculo
Esse limite é um número finito positivo (
), então pelo Teste de Comparação por Limite a série
tem o mesmo comportamento que
. Como a série harmônica
diverge, segue que
também diverge.
- Conclusão: a série original não converge absolutamente.
Passo 7
Resumo da conclusão e comentário extra (útil para a prova).
- A série converge pelo Critério de Leibniz, mas a série dos módulos diverge; portanto a convergência é condicional (converge, mas não absolutamente).
- Comentário adicional (opcional): a série está relacionada à série de Taylor de
:
Para
obtemos
. Comparando índices chega-se à soma fechada
mas essa soma fechada é um extra — o que importa para a pergunta principal é a classificação da convergência.
Resposta
Converge condicionalmente.