Determine a convergência ou divergência das seguintes séries alternadas.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2 n+1}

Passo 1

O enunciado dá a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}
e pede que se determine se ela converge ou diverge. Vou listar as informações importantes que temos:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{(-1)^{n+1}}{2n+1}.
  • A parte positiva (módulo) dos termos é b_n=\dfrac{1}{2n+1}.
  • A série é alternada por causa do fator (-1)^{n+1}.
    O objetivo é decidir se a série converge (e se for o caso, se converge absolutamente ou apenas condicionalmente).

Passo 2

Apresentar o critério que vou usar (de forma didática).
  • O Critério de Leibniz (ou teste da série alternada) diz: se (b_n) é uma sequência com b_n\ge 0 para todo n, b_{n+1}\le b_n (ou seja, é não crescente) e \lim_{n\to\infty} b_n=0, então a série alternada
\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n}\,b_n \quad\text{(ou com }(-1)^{n+1}\text{)}
converge.
Explicando em palavras: para séries alternadas basta mostrar que os módulos dos termos vão para zero e não aumentam; isso garante convergência (às vezes chamada de convergência condicional, ainda veremos a precisão).

Passo 3

Verificar que b_n=\dfrac{1}{2n+1} é positiva e monótona decrescente.
  • Positividade: para todo n\ge1 tem 2n+1>0, logo b_n>0.
  • Monotonicidade: para comparar b_{n+1} e b_n note que 2(n+1)+1=2n+3>2n+1. Como a função x\mapsto 1/x é decrescente para x>0, segue
b_{n+1}=\frac{1}{2n+3}<\frac{1}{2n+1}=b_n.
Portanto (b_n) é estritamente decrescente.

Passo 4

Verificar que \lim_{n\to\infty} b_n=0.
Calcular o limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n+1}=0,
pois o denominador cresce sem limite e o recíproco tende a zero. Isso satisfaz a segunda condição do critério de Leibniz.

Passo 5

Concluir a convergência pela prova do Passo 2–4.
Pelo Critério de Leibniz, como b_n\ge0, b_n é decrescente e \lim b_n=0, a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}
converge. (Dica útil para prova: o resto ao truncar a série depois de N termos em valor absoluto é menor que b_{N+1}.)

Passo 6

Verificar se a convergência é absoluta ou condicional.
  • A série da soma dos módulos é
\sum_{n=1}^\infty |a_n|=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n+1}.
  • Faço uma comparação por limite com a série harmônica \sum 1/n. Calculo
\lim_{n\to\infty}\frac{1/(2n+1)}{1/n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}.
Esse limite é um número finito positivo ( \tfrac12), então pelo Teste de Comparação por Limite a série \sum 1/(2n+1) tem o mesmo comportamento que \sum 1/n. Como a série harmônica \sum 1/n diverge, segue que
\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n+1}
também diverge.
  • Conclusão: a série original não converge absolutamente.

Passo 7

Resumo da conclusão e comentário extra (útil para a prova).
  • A série converge pelo Critério de Leibniz, mas a série dos módulos diverge; portanto a convergência é condicional (converge, mas não absolutamente).
  • Comentário adicional (opcional): a série está relacionada à série de Taylor de \arctan x:
\arctan x=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{2k+1}.
Para x=1 obtemos \displaystyle\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{2k+1}=\frac{\pi}{4}. Comparando índices chega-se à soma fechada
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}=1-\frac{\pi}{4},
mas essa soma fechada é um extra — o que importa para a pergunta principal é a classificação da convergência.

Resposta

Converge condicionalmente.

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