(Teste da Série Alternada). Em 1705 o matemático alemão Gottfried Wilhelm von Leibniz observou que para que haja convergência de séries do tipo
onde
, chamadas Séries Alternadas, basta que
e que
para todo
.
Use o teste de Leibniz para verificar a convergência das seguintes séries. Em caso de divergência, justifique.
Use o teste de Leibniz para verificar a convergência das seguintes séries. Em caso de divergência, justifique.
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o teste de Leibniz a série alternada
O conteúdo é o teste de convergência de séries alternadas de Leibniz, que exige verificar duas coisas para
: que
é decrescente e que
.
Passo 2
Definimos
. Para ver que
basta notar que
Passo 3
Agora mostramos que
é decrescente. Para todo
, temos
pelo que
Passo 4
Como
é positiva, decrescente e tende a zero, pelo teste de Leibniz a série converge.
Resposta
A série converge (condicionalmente) pelo teste de Leibniz.