(Teste da Série Alternada). Em 1705 o matemático alemão Gottfried Wilhelm von Leibniz observou que para que haja convergência de séries do tipo
sumn=1^+infty(-1)^n+1 an
onde an >= 0, chamadas Séries Alternadas, basta que an 0 e que
an+1 <= an
para todo n.
Use o teste de Leibniz para verificar a convergência das seguintes séries. Em caso de divergência, justifique.
sumn=1^+infty (-1)^n+12 n-1

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste de Leibniz a série alternada
sumn=1^+infty (-1)^n+12n-1
O conteúdo é o teste de convergência de séries alternadas de Leibniz, que exige verificar duas coisas para an=1/(2n-1): que an é decrescente e que anto0.

Passo 2

Definimos an=1/(2n-1). Para ver que anto0 basta notar que
limnto+infty12n-1=0

Passo 3

Agora mostramos que an é decrescente. Para todo n, temos
2(n+1)-1=2n+1>2n-1
pelo que
12n+1<12n-1, \nisto é, an+1.

Passo 4

Como (an) é positiva, decrescente e tende a zero, pelo teste de Leibniz a série converge.

Resposta

A série converge (condicionalmente) pelo teste de Leibniz.

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