Determine o domínio de analiticidade da função f e aplique o teorema de Cauchy-Goursat para calcular
integralgamma f(z) d z
onde a curva fechada simples gamma é a circunferência |z|=1 e
f(z)=sech z

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos determinar onde f(z)= é analítica e, em seguida, calcular sech z sobre a circunferência integralgammaf(z),dz usando o teorema de Cauchy–Goursat. O conteúdo envolve análise de singularidades de funções hiperbólicas e aplicação do teorema de integrais de funções analíticas.

Passo 2

Para achar o domínio de analiticidade de , precisamos ver onde f(z)=sech z=1/cosh z. Sabemos que
cosh z=0

Passo 3

Logo, f é analítica em
C,setminus,litfrac(2k+1)pi2colon kinZr

Passo 4

As singularidades mais próximas da origem ocorrem para k=0 e k=-1, dando z=pm ipi/2 com módulo |z|=pi/2approx1,57>1. Isso significa que nenhuma singularidade está dentro de |z|<1.

Passo 5

Como f é analítica em toda a região interior e na fronteira de |z|=1, pelo teorema de Cauchy–Goursat a integral sobre o contorno fechado vale zero.

Resposta

0

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