Teste a série para convergência ou divergência:
Use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge. Se o teste for inconclusivo, aponte isso. \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} \frac{k}{5^{k}}
Passo 1
O enunciado pede: usar o teste da razão para determinar se a série
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}\frac{k}{5^{k}}
converge ou diverge. Informações dadas que vamos usar: o termo geral da série é
a_{k}=(-1)^{k}\frac{k}{5^{k}}.
Não há outras restrições nem dados adicionais.
Passo 2
Explicando o teste da razão (de forma didática): seja uma série com termo geral a_{k}. Definimos
\text{se }L<1\text{, a série converge absolutamente (logo converge);}\newline \text{se }L>1\text{, a série diverge;}\newline \text{se }L=1\text{, o teste é inconclusivo.}ééé
“Converge absolutamente” significa que a série dos valores absolutos \sum |a_k| converge; isso é uma informação mais forte que apenas convergência.
Passo 3
Vamos aplicar o teste à nossa série. Primeiro escrevo o termo geral e seu módulo:
Para ver esse limite de maneira clara, divido numerador e denominador por k:
\frac{k+1}{5k}=\frac{1+\tfrac{1}{k}}{5}.
Quando k\to\infty temos \tfrac{1}{k}\to 0, portanto
L=\frac{1+0}{5}=\frac{1}{5}.
Passo 5
Interpretando o resultado pelo teste da razão: obtivemos L=\tfrac{1}{5}. Como \tfrac{1}{5}<1, o teste da razão diz que a série converge absolutamente. Logo a série original converge (a convergência absoluta implica convergência). Breve comentário motivador: o fator 5^{k} no denominador faz os termos caírem exponencialmente, mais rápido que o crescimento linear de k, daí a convergência absoluta.
Passo 6
(Comentário extra útil para a prova) Se quiser, podemos ainda usar uma fórmula conhecida para somas com k x^{k} para calcular a soma da série. Para |x|<1 vale