Teste a série para convergência ou divergência:
Use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge. Se o teste for inconclusivo, aponte isso.
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} \frac{k}{5^{k}}

Passo 1

O enunciado pede: usar o teste da razão para determinar se a série
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}\frac{k}{5^{k}}
converge ou diverge. Informações dadas que vamos usar: o termo geral da série é
a_{k}=(-1)^{k}\frac{k}{5^{k}}.
Não há outras restrições nem dados adicionais.

Passo 2

Explicando o teste da razão (de forma didática): seja uma série com termo geral a_{k}. Definimos
L=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right|.
As conclusões do teste são:
\text{se }L<1\text{, a série converge absolutamente (logo converge);}\newline \text{se }L>1\text{, a série diverge;}\newline \text{se }L=1\text{, o teste é inconclusivo.}ééé
“Converge absolutamente” significa que a série dos valores absolutos \sum |a_k| converge; isso é uma informação mais forte que apenas convergência.

Passo 3

Vamos aplicar o teste à nossa série. Primeiro escrevo o termo geral e seu módulo:
a_{k}=(-1)^{k}\frac{k}{5^{k}}\quad\Rightarrow\quad |a_{k}|=\frac{k}{5^{k}}.
Agora calculo a razão dos módulos entre termos consecutivos:
\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| =\frac{\dfrac{k+1}{5^{\,k+1}}}{\dfrac{k}{5^{\,k}}} =\frac{k+1}{5^{\,k+1}}\cdot\frac{5^{\,k}}{k}.

Passo 4

Continuando a simplificação da razão:
\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| =\frac{k+1}{5k}.
Agora calculo o limite quando k\to\infty:
L=\lim_{k\to\infty}\frac{k+1}{5k}.
Para ver esse limite de maneira clara, divido numerador e denominador por k:
\frac{k+1}{5k}=\frac{1+\tfrac{1}{k}}{5}.
Quando k\to\infty temos \tfrac{1}{k}\to 0, portanto
L=\frac{1+0}{5}=\frac{1}{5}.

Passo 5

Interpretando o resultado pelo teste da razão: obtivemos L=\tfrac{1}{5}. Como \tfrac{1}{5}<1, o teste da razão diz que a série converge absolutamente. Logo a série original converge (a convergência absoluta implica convergência). Breve comentário motivador: o fator 5^{k} no denominador faz os termos caírem exponencialmente, mais rápido que o crescimento linear de k, daí a convergência absoluta.

Passo 6

(Comentário extra útil para a prova) Se quiser, podemos ainda usar uma fórmula conhecida para somas com k x^{k} para calcular a soma da série. Para |x|<1 vale
\sum_{k=1}^{\infty}k x^{k}=\frac{x}{(1-x)^{2}}.
Aqui temos x=-\tfrac{1}{5}, então
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}\frac{k}{5^{k}}=\sum_{k=1}^{\infty}k\left(-\tfrac{1}{5}\right)^{k} =\frac{-\tfrac{1}{5}}{\bigl(1-(-\tfrac{1}{5})\bigr)^{2}} =\frac{-\tfrac{1}{5}}{\bigl(1+\tfrac{1}{5}\bigr)^{2}} =\frac{-\tfrac{1}{5}}{\bigl(\tfrac{6}{5}\bigr)^{2}} =-\frac{5}{36}.
Isso confirma a convergência e dá a soma explícita.

Resposta

A série converge absolutamente, portanto converge.

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