Teste a série para convergência ou divergência:
Use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge. Se o teste for inconclusivo, aponte isso.
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} \frac{3^{k}}{k^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{3^{k}}{k^{2}}
e pede para usar o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge. Informações relevantes: o sinal alterna por (-1)^{k+1} e o módulo dos termos é \dfrac{3^{k}}{k^{2}}. A resolução deve aplicar o teste da razão e, se necessário, tirar conclusões adicionais (por exemplo, checar se os termos tendem a zero).

Passo 2

Vou explicar o teste da razão (de forma didática): para uma série com termos (não necessariamente positivos) \sum a_k define-se o número
L=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|.
As conclusões são:
  • Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Aqui eu vou aplicar o teste da razão aos valores absolutos dos termos porque o sinal alternado não impede usar o teste sobre |a_k|.

Passo 3

Defino a_k como o módulo do k-ésimo termo:
a_k=\frac{3^{k}}{k^{2}}.
Calculo a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{3^{k+1}}{(k+1)^{2}}\cdot\frac{k^{2}}{3^{k}}=3\cdot\frac{k^{2}}{(k+1)^{2}}.
Expliquei cada fator: o 3^{k+1}/3^{k}=3 e sobram os quadrados k^{2}/(k+1)^{2}.

Passo 4

Agora avalio o limite quando k\to\infty:
L=\lim_{k\to\infty}3\cdot\left(\frac{k}{k+1}\right)^{2}.
Como \dfrac{k}{k+1}\to 1 quando k\to\infty, temos
L=3\cdot 1^{2}=3.

Passo 5

Interpreto o resultado do teste da razão: L=3>1. Pelo teste da razão isso implica que a série dos módulos \sum a_k=\sum \dfrac{3^k}{k^2} diverge. Ou seja, a série original não é absolutamente convergente.

Passo 6

Como a série é alternada, a divergência absoluta não garante, por si só, a divergência da série original (poderia ser convergente condicional). Então verifico o comportamento do termo geral da série original:
t_k = (-1)^{k+1}\frac{3^{k}}{k^{2}}.
Se \lim_{k\to\infty} t_k \neq 0, a série diverge (teste do termo geral). Como já vimos que a_k=\dfrac{3^k}{k^2} tem razão entre termos tendendo a 3>1, isso implica que, a partir de algum N, a_{k+1}>2a_k (por exemplo) e, portanto, a_k cresce geometricamente para o infinito. Logo
\lim_{k\to\infty}\frac{3^{k}}{k^{2}}=+\infty,
e consequentemente
\lim_{k\to\infty} t_k \\ \text{não existe finitamente (os módulos divergem)},ãó
em particular t_k\not\to 0. Pelo teste do termo geral, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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