Teste a série para convergência ou divergência:
Use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge. Se o teste for inconclusivo, aponte isso.
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} \frac{2^{k}}{k!}

Passo 1

O enunciado pede para testar a série
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{2^{k}}{k!}
para convergência ou divergência, usando o teste da razão. Informações relevantes dadas:
  • O termo geral da série é \,(-1)^{k+1}\dfrac{2^{k}}{k!}\,.
  • A série é alternada (há o fator (-1)^{k+1}).
  • Devemos aplicar o teste da razão e decidir se a série converge, diverge ou se o teste é inconclusivo.

Passo 2

Vamos lembrar o que diz o teste da razão (explicado passo a passo):
  • Seja (a_k) o termo geral de uma série \sum a_k.
  • Definimos L=\displaystyle\lim_{k\to\infty}\left|\dfrac{a_{k+1}}{a_k}\right| (se o limite existir).
  • Interpretação do resultado:
    • Se L<1, a série \sum a_k converge absolutamente (isso significa que \sum |a_k| converge), logo \sum a_k converge.
    • Se L>1 (ou L=+\infty), a série diverge.
    • Se L=1, o teste é inconclusivo (não permite decidir).
  • Observação didática: tomar valor absoluto elimina sinais alternados e foca no comportamento do tamanho dos termos; usamos isso porque convergência absoluta é uma condição forte que garante convergência simples.

Passo 3

Identificamos o termo geral da série. Seja
a_k = (-1)^{k+1}\frac{2^{k}}{k!}.
O módulo (valor absoluto) do termo é
|a_k| = \frac{2^{k}}{k!},
pois |(-1)^{k+1}|=1. Trabalhar com |a_k| é exatamente o que o teste da razão pede.

Passo 4

Calculamos a razão entre termos consecutivos em valor absoluto; escrevo passo a passo a simplificação:
\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = \frac{|a_{k+1}|}{|a_k|} = \frac{\dfrac{2^{\,k+1}}{(k+1)!}}{\dfrac{2^{\,k}}{k!}}.
Agora simplificamos a fração. Primeiro, divido as potências de 2:
\frac{2^{\,k+1}}{2^{\,k}} = 2.
Segundo, divido os fatoriais:
\frac{k!}{(k+1)!} = \frac{1}{k+1}.
Com isso obtemos
\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = 2\cdot\frac{1}{k+1} = \frac{2}{k+1}.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando k\to\infty:
L=\lim_{k\to\infty}\frac{2}{k+1}.
Como k+1\to\infty, a fração \dfrac{2}{k+1} tende a 0. Logo
L=0.
Esse L satisfaz L<1.

Passo 6

Aplicando a conclusão do teste da razão: como L=0<1, a série converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência simples, portanto a série original converge. (Resumo intuitivo: os denominadores com k! crescem muito rápido, fazendo os termos irem a zero rápido o bastante para convergência.)

Resposta

A série converge absolutamente, logo converge.

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