Teste a série para convergência ou divergência:
Use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge. Se o teste for inconclusivo, aponte isso. \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} \frac{2^{k}}{k!}
Passo 1
O enunciado pede para testar a série
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{2^{k}}{k!}
para convergência ou divergência, usando o teste da razão. Informações relevantes dadas:
O termo geral da série é \,(-1)^{k+1}\dfrac{2^{k}}{k!}\,.
A série é alternada (há o fator (-1)^{k+1}).
Devemos aplicar o teste da razão e decidir se a série converge, diverge ou se o teste é inconclusivo.
Passo 2
Vamos lembrar o que diz o teste da razão (explicado passo a passo):
Seja (a_k) o termo geral de uma série \sum a_k.
Definimos L=\displaystyle\lim_{k\to\infty}\left|\dfrac{a_{k+1}}{a_k}\right| (se o limite existir).
Interpretação do resultado:
Se L<1, a série \sum a_k converge absolutamente (isso significa que \sum |a_k| converge), logo \sum a_k converge.
Se L>1 (ou L=+\infty), a série diverge.
Se L=1, o teste é inconclusivo (não permite decidir).
Observação didática: tomar valor absoluto elimina sinais alternados e foca no comportamento do tamanho dos termos; usamos isso porque convergência absoluta é uma condição forte que garante convergência simples.
Passo 3
Identificamos o termo geral da série. Seja
a_k = (-1)^{k+1}\frac{2^{k}}{k!}.
O módulo (valor absoluto) do termo é
|a_k| = \frac{2^{k}}{k!},
pois |(-1)^{k+1}|=1. Trabalhar com |a_k| é exatamente o que o teste da razão pede.
Passo 4
Calculamos a razão entre termos consecutivos em valor absoluto; escrevo passo a passo a simplificação:
Como k+1\to\infty, a fração \dfrac{2}{k+1} tende a 0. Logo
L=0.
Esse L satisfaz L<1.
Passo 6
Aplicando a conclusão do teste da razão: como L=0<1, a série converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência simples, portanto a série original converge. (Resumo intuitivo: os denominadores com k! crescem muito rápido, fazendo os termos irem a zero rápido o bastante para convergência.)