Teste a série quanto a convergência ou divergência.
12. \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{\sqrt{n}}{n+4}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\,\frac{\sqrt{n}}{n+4}.
O conteúdo envolve o Teste de Leibniz para séries alternantes e a convergência absoluta (via comparação assintótica com uma p-série).

Passo 2

Verificamos o limite dos termos gerais \displaystyle a_n = \frac{\sqrt{n}}{n+4}.
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{n+4} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{1/2}}{n\,(1+4/n)} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{1/2}(1+4/n)} = 0.
Logo, a condição \lim_{n\to\infty}a_n=0 do Teste de Leibniz está satisfeita.

Passo 3

Mostramos que a_n é monótona decrescente para n suficientemente grande. Considere
f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x+4},\quad x>0.
Calculamos
f'(x) = \frac{\tfrac1{2\sqrt{x}}\,(x+4)\;-\;\sqrt{x}\,(1)}{(x+4)^2} = \frac{x+4-2x}{2\sqrt{x}\,(x+4)^2} = \frac{4-x}{2\sqrt{x}\,(x+4)^2}.
Para x>4 temos 4-x<0, logo f'(x)<0. Assim, a_n=f(n) é decrescente a partir de n=5.

Passo 4

Pelas condições do Teste de Leibniz (série alternante, termos positivos que tendem a zero e são eventualmente decrescentes), concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\sqrt{n}}{n+4}
converge.

Passo 5

Para verificar a convergência absoluta, analisamos
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\sqrt{n}}{n+4}\right| = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}}{n+4}
Comparando com \displaystyle \sum n^{-1/2}, que diverge p-série com p=\tfrac12<1, vemos que \tfrac{\sqrt{n}}{n+4}\sim n^{-1/2} e, portanto,
a série não converge absolutamente.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo Teste de Leibniz, mas diverge absolutamente).

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