Comparando com \displaystyle \sum n^{-1/2}, que diverge p-série com p=\tfrac12<1, vemos que \tfrac{\sqrt{n}}{n+4}\sim n^{-1/2} e, portanto,
a série não converge absolutamente.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge pelo Teste de Leibniz, mas diverge absolutamente).