Teste a série quanto a convergência ou divergência.
14. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{e^{\sqrt{n}}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{e^{\sqrt{n}}}.
O conteúdo que vamos usar é o Teste da Integral, pois a função
f(x)=\frac{\sqrt{x}}{e^{\sqrt{x}}}
é positiva, contínua e (a partir de certo ponto) decrescente em [1,\infty), e podemos comparar a soma com a integral imprópria de f.

Passo 2

Aplicamos o Teste da Integral, estudando
\int_{1}^{\infty}\frac{\sqrt{x}}{e^{\sqrt{x}}}\,dx.
Fazemos a substituição u=\sqrt{x}, logo x=u^2 e dx=2u\,du. Assim,
\int_{1}^{\infty}\frac{\sqrt{x}}{e^{\sqrt{x}}}\,dx =\int_{u=1}^{\infty}\frac{u}{e^{u}}\,(2u\,du) =2\int_{1}^{\infty}u^2e^{-u}\,du.
Essa integral imprópria converge porque \int_{1}^{\infty}u^2e^{-u}\,du é uma parte da função Gamma e é finita.

Passo 3

Como
\int_{1}^{\infty}\frac{\sqrt{x}}{e^{\sqrt{x}}}\,dx<\infty,
o Teste da Integral garante que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}}{e^{\sqrt{n}}}
converge.

Resposta

A série converge.

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