Teste a série quanto a convergência ou divergência.
12. \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n^{3}+1}{n^{4}-1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência ou divergência da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n^{3}+1}{n^{4}-1}
Trata-se de uma série de termos positivos. Vamos usar o Teste da Comparação Limite (ou Limit Comparison Test) com uma série p-série conhecida.

Passo 2

Analisamos o comportamento assintótico do termo geral
a_{n} = \frac{n^{3}+1}{n^{4}-1}.
Para n muito grande, n^{3}+1\sim n^{3} e n^{4}-1\sim n^{4}, logo
a_{n} \approx \frac{n^{3}}{n^{4}} = \frac{1}{n}.
Isso sugere comparação com a série harmônica \sum 1/n.

Passo 3

Aplicamos o Teste da Comparação Limite usando
b_{n} = \frac{1}{n}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n^{3}+1}{n^{4}-1}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n\,(n^{3}+1)}{n^{4}-1} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{4}+n}{n^{4}-1} = 1.
Como esse limite é um número finito e diferente de zero, a_{n} e b_{n} têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

Sabendo que a série harmônica
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n}
é divergente, concluímos que a série dada também diverge.

Resposta

A série diverge.

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