Teste a série quanto a convergência ou divergência.
16. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{\sqrt{n^{5}+n^{2}+2}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{\sqrt{n^{5}+n^{2}+2}}.
Esse problema envolve séries de termos positivos e podemos usar o teste de comparação limite junto com o conhecimento sobre p-séries.

Passo 2

Vamos analisar o comportamento do termo geral quando n fica grande. Defina
a_{n} = \frac{n^{2}}{\sqrt{n^{5}+n^{2}+2}}.
Fatorando n^{5} dentro da raiz, obtemos
a_{n} = \frac{n^{2}}{\sqrt{n^{5}\bigl(1 + n^{-3} + 2n^{-5}\bigr)}} = \frac{n^{2}}{n^{5/2}\,\sqrt{1 + n^{-3} + 2n^{-5}}} = \frac{n^{-1/2}}{\sqrt{1 + n^{-3} + 2n^{-5}}}.
Portanto, quando n\to\infty,
a_{n}\sim n^{-1/2}.

Passo 3

Lembrando que a p-série
\sum_{n=1}^{\infty} n^{-p}
converge se, e somente se, p>1. Aqui, p=\tfrac12\le1, então
\sum_{n=1}^\infty n^{-1/2}
diverge. Para aplicar o teste de comparação limite, tomemos
b_{n} = n^{-1/2}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{-1/2}/\sqrt{1+n^{-3}+2n^{-5}}}{n^{-1/2}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+n^{-3}+2n^{-5}}} = 1.
Como esse limite é um número finito e não nulo e já sabemos que \sum b_{n} diverge, concluímos que \sum a_{n} também diverge.

Resposta

A série diverge.

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