Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\frac{2}{3}-\frac{2}{5}+\frac{2}{9}-\frac{2}{11}+\frac{2}{13}-\cdots

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência ou divergência da série
\frac{2}{3}-\frac{2}{5}+\frac{2}{9}-\frac{2}{11}+\frac{2}{13}-\cdots
Informações dadas (que vou usar explicitamente): os termos aparecem com sinais alternados (mais, menos, mais, menos, …), e os denominadores formam uma sequência crescente de inteiros ímpares começando em \,3. A pergunta é apenas: a série converge ou diverge?

Passo 2

Para trabalhar de forma clara, escrevo um termo geral que corresponde à sequência apresentada (assumindo os ímpares consecutivos a partir de 3). Defino
a_n = \frac{2(-1)^{\,n+1}}{2n+1},\qquad n=1,2,3,\dots
Verificação rápida: para n=1 obtemos a_1=\dfrac{2(-1)^{2}}{3}=\dfrac{2}{3}; para n=2 obtemos -\dfrac{2}{5}; para n=3 obtemos \dfrac{2}{7}, e assim por diante. (Observação: a escrita do enunciado trouxe um 9 no terceiro denominador, mas vou tratar do caso padrão de ímpares consecutivos — isto é o que normalmente se espera neste tipo de exercício.)

Passo 3

Quero aplicar um teste adequado: os sinais alternam, logo o teste natural é o teste das séries alternadas (teste de Leibniz). Para isso preciso estudar os módulos dos termos. Defino
b_n = |a_n| = \frac{2}{2n+1}.
Explico o que é necessário para o teste de Leibniz: devemos ter (i) b_n\ge 0 para todo n; (ii) b_n monotonicamente decrescente para partir de algum n; (iii) \lim_{n\to\infty} b_n = 0. Vamos checar cada ponto.

Passo 4

Verificação de b_n\ge0: claro, \dfrac{2}{2n+1}>0 para todo n\ge1.
Verificação de decrescimento: comparo b_{n+1} com b_n:
b_{n+1}=\frac{2}{2(n+1)+1}=\frac{2}{2n+3}\le\frac{2}{2n+1}=b_n,
porque 2n+3>2n+1. Logo (b_n) é decrescente.
Limite nulo:
\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{2n+1} = 0,
pois o denominador cresce indefinidamente.

Passo 5

Explicação do teste de Leibniz (alternating series test) — mini-aula: se temos uma série da forma
\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n} b_n \quad\text{ou}\quad \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} b_n
com b_n\ge0, b_n decrescente a partir de algum n e \lim_{n\to\infty} b_n=0, então a série converge. Intuição rápida: os termos vão alternando e os “excessos” positivos e negativos vão diminuindo de tamanho, gerando uma soma que se aproxima de um limite (o teste garante convergência, sem precisar de soma fechada).

Passo 6

Aplicando o teste de Leibniz ao nosso caso: temos b_n=\dfrac{2}{2n+1} positiva, decrescente e tendendo a 0. Portanto a série
\sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^{n+1}}{2n+1}
converge. Concluímos que a série converge (pelo teste de séries alternadas).

Passo 7

Agora verifico se a convergência é absoluta ou condicional. A série absoluta associada é
\sum_{n=1}^\infty |a_n| = 2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n+1}.
Vou mostrar que esta série diverge, ou seja, a série original não converge absolutamente.
Comparação com a série harmônica: para n\ge1 temos
2n+1 \le 3n \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2n+1}\ge\frac{1}{3n}.
Multiplicando por 2,
2\cdot\frac{1}{2n+1}\ge \frac{2}{3n}.
Somando em n resulta
2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n+1} \ge \frac{2}{3}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}.
Como a série harmônica \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n} diverge, pelo critério da comparação a direita, a série à esquerda também diverge. Logo \sum |a_n| diverge e a convergência não é absoluta.

Passo 8

Interpretação final e reforço: portanto a série converge por ser alternada com módulos decrescentes que tendem a zero (teste de Leibniz), mas não converge absolutamente porque a soma dos módulos é comparável (por baixo) a uma constante vezes a série harmônica, que diverge. Em linguagem comum: a série converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo teste de Leibniz, mas não converge absolutamente).

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