Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência ou divergência da série
Informações dadas (que vou usar explicitamente): os termos aparecem com sinais alternados (mais, menos, mais, menos, …), e os denominadores formam uma sequência crescente de inteiros ímpares começando em
. A pergunta é apenas: a série converge ou diverge?
Passo 2
Para trabalhar de forma clara, escrevo um termo geral que corresponde à sequência apresentada (assumindo os ímpares consecutivos a partir de
). Defino
Verificação rápida: para
obtemos
; para
obtemos
; para
obtemos
, e assim por diante. (Observação: a escrita do enunciado trouxe um
no terceiro denominador, mas vou tratar do caso padrão de ímpares consecutivos — isto é o que normalmente se espera neste tipo de exercício.)
Passo 3
Quero aplicar um teste adequado: os sinais alternam, logo o teste natural é o teste das séries alternadas (teste de Leibniz). Para isso preciso estudar os módulos dos termos. Defino
Explico o que é necessário para o teste de Leibniz: devemos ter (i)
para todo
; (ii)
monotonicamente decrescente para partir de algum
; (iii)
. Vamos checar cada ponto.
Passo 4
Verificação de
: claro,
para todo
.
Verificação de decrescimento: comparo
com
:
porque
. Logo
é decrescente.
Limite nulo:
pois o denominador cresce indefinidamente.
Passo 5
Explicação do teste de Leibniz (alternating series test) — mini-aula: se temos uma série da forma
com
,
decrescente a partir de algum
e
, então a série converge. Intuição rápida: os termos vão alternando e os “excessos” positivos e negativos vão diminuindo de tamanho, gerando uma soma que se aproxima de um limite (o teste garante convergência, sem precisar de soma fechada).
Passo 6
Aplicando o teste de Leibniz ao nosso caso: temos
positiva, decrescente e tendendo a
. Portanto a série
converge. Concluímos que a série converge (pelo teste de séries alternadas).
Passo 7
Agora verifico se a convergência é absoluta ou condicional. A série absoluta associada é
Vou mostrar que esta série diverge, ou seja, a série original não converge absolutamente.
Comparação com a série harmônica: para
temos
Multiplicando por
,
Somando em
resulta
Como a série harmônica
diverge, pelo critério da comparação a direita, a série à esquerda também diverge. Logo
diverge e a convergência não é absoluta.
Passo 8
Interpretação final e reforço: portanto a série converge por ser alternada com módulos decrescentes que tendem a zero (teste de Leibniz), mas não converge absolutamente porque a soma dos módulos é comparável (por baixo) a uma constante vezes a série harmônica, que diverge. Em linguagem comum: a série converge condicionalmente.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge pelo teste de Leibniz, mas não converge absolutamente).