Lança-se horizontalmente um projétil com velocidade de 600 \mathrm{~m} / \mathrm{s} de uma altura de 500 m acima do nível do solo. Quando e onde o projétil atingirá o solo?.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Dados fornecidos: \text{velocidade inicial horizontal } v_{0x}=600\\ \mathrm{m/s},
\text{altura inicial } h=500\\ \mathrm{m},
\text{aceleração da gravidade } g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}.çã
Observação: peguei os valores numéricos do enunciado (velocidade e altura) e adotei o valor padrão de g igual a 9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • O que o problema pergunta:
    1. Quando o projétil atinge o solo? (ou seja, o tempo t de queda)
    2. Onde atinge o solo? (ou seja, a distância horizontal percorrida desde o ponto de lançamento)

Passo 2

Entendendo o que acontece (explicação didática e fórmulas):
  • Como o projétil foi lançado horizontalmente, a componente vertical da velocidade inicial é zero. A queda vertical é independente do movimento horizontal (assumindo que não há resistência do ar).
  • A equação do movimento vertical (posição vertical medida a partir do solo) é y(t)=h+v_{y0}t-\tfrac{1}{2}gt^2,onde:
    h é a altura inicial,
    v_{y0} é a componente vertical da velocidade inicial (aqui v_{y0}=0),
    g é a aceleração da gravidade e
    t é o tempo.
  • O projétil atinge o solo quando y(t)=0. Substituindo v_{y0}=0 e igualando a zero, obtemos a equação para achar o tempo de queda.

Passo 3

Calcular o tempo de queda (passo a passo das contas):
  • Partimos de 0 = h - \tfrac{1}{2}gt^2.
  • Isolando t, \tfrac{1}{2}gt^2 = h \quad\Rightarrow\quad t^2=\frac{2h}{g}.
  • Portanto t=\sqrt{\frac{2h}{g}}.
  • Substituindo os números (todos dentro de fórmulas): t=\sqrt{\frac{2\cdot 500}{9,8}}=\sqrt{\frac{1000}{9,8}}.
  • Calculando a fração: \frac{1000}{9,8}\approx 102{,}0408163.
  • Tirando a raiz quadrada: t\approx 10{,}1015\\ \mathrm{s}.
  • Arredondando para um número prático para a prova (duas casas decimais): t\approx 10{,}10\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Entender e aplicar o movimento horizontal:
  • A componente horizontal da velocidade é constante (não há aceleração horizontal), então a posição horizontal é x(t)=v_{0x}\,t,onde v_{0x} é a velocidade horizontal inicial e t é o tempo de voo já calculado.
  • Assim, a distância horizontal percorrida até o impacto é x=v_{0x}\cdot t.

Passo 5

Calcular a distância horizontal (contas explícitas):
  • Substituindo os valores: x=600\cdot t.
  • Usando t\approx 10{,}1015\\ \mathrm{s} (valor mais preciso antes do arredondamento): x\approx 600\cdot 10{,}1015 \approx 6060{,}915\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando para um valor prático (sem perder significado): x\approx 6061\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Resumo do raciocínio para a hora da prova (dica amigável):
  • Lembre-se: para lançamento horizontal, o tempo de queda depende só da altura: t=\sqrt{2h/g}.
  • Depois multiplica esse t pela velocidade horizontal para achar a distância: x=v_{0x}\,t.
  • Se estiver com tempo, faça as contas com um pouco mais de casas decimais e só no final arredonde.

Resposta

t\approx 10{,}10\\ \mathrm{s}
x\approx 6061\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados