Um jogador de futebol lança uma bola a uma distância de 30 metros. Sabendo que a bola é liberada com um ângulo de \pi / 4 com a horizontal, encontre sua velocidade inicial.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara: \n
  • Distância (alcance) percorrida pela bola: \;30\\ \text{m}. \n
  • Ângulo de lançamento em relação à horizontal: \;\pi/4. \n
  • Pedido: encontrar a velocidade inicial da bola (vou chamar de \;v_0). \n
    Dados relevantes identificados: \;R=30\\ \text{m}, \;\theta=\pi/4. Não há mais informações fornecidas, então assumimos lançamento e aterrissagem ao mesmo nível e aceleração da gravidade \;g (usarei \;g=9,8\\ \text{m/s}^2).

Passo 2

Para resolver, lembramos as equações do movimento do projétil (sem resistência do ar), separando componentes horizontal e vertical. Se \;v_0 é a velocidade inicial e \;\theta o ângulo de lançamento, então: \n
  • componente horizontal da velocidade inicial: \;v_{0x}=v_0\cos\theta. \n
  • componente vertical da velocidade inicial: \;v_{0y}=v_0\sin\theta. \n
    As equações do movimento (cinemática) são: \n
x(t)=v_{0x}\,t = v_0\cos\theta\;t
y(t)=v_{0y}\,t-\tfrac{1}{2}g\,t^2 = v_0\sin\theta\;t-\tfrac{1}{2}g\,t^2
onde \;t é o tempo desde o lançamento, \;x(t) é a posição horizontal e \;y(t) a posição vertical.

Passo 3

O alcance R é a distância horizontal percorrida até a bola voltar ao mesmo nível de lançamento, ou seja, até \;y(t)=0 para t>0. Vamos achar o tempo de voo não nulo resolvendo \;y(t)=0: \n
v_0\sin\theta\;t-\tfrac{1}{2}g\,t^2=0.
Fatorando t: \n
t\bigl(v_0\sin\theta-\tfrac{1}{2}g\,t\bigr)=0.
As soluções são t=0 (momento do lançamento) e \;t=\dfrac{2v_0\sin\theta}{g} (tempo de retorno ao solo). O tempo de voo útil é \;t_{\text{voo}}=\dfrac{2v_0\sin\theta}{g}.

Passo 4

O alcance é a posição horizontal no tempo de voo: \n
R = x\bigl(t_{\text{voo}}\bigr) = v_0\cos\theta \cdot \frac{2v_0\sin\theta}{g}.
Multiplicando e usando a identidade trigonométrica 2\sin\theta\cos\theta=\sin(2\theta), obtemos a fórmula clássica do alcance: \n
R=\frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}.
Aqui: \;R é o alcance dado, \;v_0 é a incógnita que queremos, \;\theta é o ângulo dado, e \;g é a aceleração da gravidade.

Passo 5

Isolando \;v_0 na fórmula do alcance, temos: \n
v_0 = \sqrt{\frac{R\,g}{\sin(2\theta)}}.
Explicando: para obter v_0 tiramos raiz quadrada dos dois lados depois de multiplicar por g e dividir por \sin(2\theta). Todas as letras representam: \;R (alcance conhecido), \;g (gravidade), \;\theta (ângulo).

Passo 6

Agora substituímos o ângulo \;\theta=\pi/4. Calculamos \sin(2\theta)=\sin(\pi/2)=1. Assim a expressão simplifica muito: \n
v_0=\sqrt{R\,g}.
Substituindo \;R=30\\ \text{m} e \;g=9,8\\ \text{m/s}^2: \n
v_0=\sqrt{30\cdot 9,8}=\sqrt{294}.

Passo 7

Uma checagem rápida (pra ter segurança): o tempo de voo vale \;t_{\text{voo}}=\dfrac{2v_0\sin\theta}{g}. Com \;\sin\theta=\sin(\pi/4)=\tfrac{\sqrt{2}}{2} e \;v_0=\sqrt{294} obtemos um tempo de voo consistente que, ao multiplicar pela componente horizontal \;v_0\cos\theta, devolve R=30\\ \text{m}. Ou seja, a dedução está coerente.

Resposta

\;v_0=\sqrt{294}\\ \text{m/s}\approx 17,15\\ \text{m/s}

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