Um jogador de futebol lança uma bola a uma distância de 30 metros. Sabendo que a bola é liberada com um ângulo de
com a horizontal, encontre sua velocidade inicial.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara: \n
- Distância (alcance) percorrida pela bola:
. \n - Ângulo de lançamento em relação à horizontal:
. \n - Pedido: encontrar a velocidade inicial da bola (vou chamar de
). \n
Dados relevantes identificados:, . Não há mais informações fornecidas, então assumimos lançamento e aterrissagem ao mesmo nível e aceleração da gravidade (usarei ).
Passo 2
Para resolver, lembramos as equações do movimento do projétil (sem resistência do ar), separando componentes horizontal e vertical. Se
é a velocidade inicial e
o ângulo de lançamento, então: \n
- componente horizontal da velocidade inicial:
. \n - componente vertical da velocidade inicial:
. \n
As equações do movimento (cinemática) são: \n
onde
é o tempo desde o lançamento,
é a posição horizontal e
a posição vertical.
Passo 3
O alcance
é a distância horizontal percorrida até a bola voltar ao mesmo nível de lançamento, ou seja, até
para
. Vamos achar o tempo de voo não nulo resolvendo
: \n
Fatorando
: \n
As soluções são
(momento do lançamento) e
(tempo de retorno ao solo). O tempo de voo útil é
.
Passo 4
O alcance é a posição horizontal no tempo de voo: \n
Multiplicando e usando a identidade trigonométrica
, obtemos a fórmula clássica do alcance: \n
Aqui:
é o alcance dado,
é a incógnita que queremos,
é o ângulo dado, e
é a aceleração da gravidade.
Passo 5
Isolando
na fórmula do alcance, temos: \n
Explicando: para obter
tiramos raiz quadrada dos dois lados depois de multiplicar por
e dividir por
. Todas as letras representam:
(alcance conhecido),
(gravidade),
(ângulo).
Passo 6
Agora substituímos o ângulo
. Calculamos
. Assim a expressão simplifica muito: \n
Substituindo
e
: \n
Passo 7
Uma checagem rápida (pra ter segurança): o tempo de voo vale
. Com
e
obtemos um tempo de voo consistente que, ao multiplicar pela componente horizontal
, devolve
. Ou seja, a dedução está coerente.