Teste a série quanto a convergência ou divergência.
4. \sum_{i=1}^{\infty} \frac{i^{4}}{4^{i}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{i=1}^{\infty} \frac{i^{4}}{4^{i}}.
O conteúdo principal aqui é o teste da razão de D’Alembert para séries numéricas.

Passo 2

Definimos
a_{n} = \frac{n^{4}}{4^{n}}.
Aplicamos o teste da razão, calculando
L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^{4}}{4^{\,n+1}}\cdot\frac{4^{\,n}}{n^{4}} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^{4}}{4\,n^{4}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^{4}}{4} = \frac{1}{4}.

Passo 3

Como L = \tfrac14 < 1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série \sum_{i=1}^{\infty} \tfrac{i^{4}}{4^{i}} converge (convergência absoluta).

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