Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1-3 n}{3+4 n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1-3n}{3+4n}\right)^{n}
quanto à convergência absoluta, condicional ou divergência. Vamos usar o teste da raiz (que é natural quando temos potências de n) para estudar primeiro a convergência absoluta.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz ao valor absoluto do termo geral:
a_n = \left(\frac{1-3n}{3+4n}\right)^{n} \quad\Longrightarrow\quad |a_n|^{1/n} =\left|\frac{1-3n}{3+4n}\right|.
Calculamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1-3n}{3+4n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{3n-1}{4n+3} =\frac{3}{4}.

Passo 3

Como o resultado do teste da raiz é
L = \frac{3}{4} < 1,
concluímos que a série \emph{absolutamente} converge. Logo não há necessidade de verificar convergência condicional, pois a convergência absoluta é mais forte.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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