Teste a série quanto a convergência ou divergência.
6. \sum_{k=1}^{\infty} k^{-1,7}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{k=1}^{\infty} k^{-1,7}.
Esse é um caso clássico de série do tipo “ p-série”, em que o termo geral é k^{-p}. Aqui temos p = 1,7.

Passo 2

O teste da p-série diz que
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{p}}
converge se, e somente se, p>1. A demonstração pode ser feita, por exemplo, pelo teste da integral, já que
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx
converge exatamente quando p>1.

Passo 3

No nosso caso p=1,7. Como
1,7>1,
podemos concluir imediatamente, pelo teste da p-série, que
\sum_{k=1}^{\infty} k^{-1,7}
é convergente.

Resposta

A série \sum_{k=1}^{\infty} k^{-1,7} converge.

Exercícios relacionados