Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} \cos \left(1 / n^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para testar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\cos\left(\frac{1}{n^{2}}\right)
converge ou diverge. Informações dadas e o que precisamos observar:
  • A série tem termos a_{n}=(-1)^{n}\cos\!\left(\dfrac{1}{n^{2}}\right).
  • Precisamos decidir se a soma infinita converge (tem valor finito) ou diverge.
  • Um fato útil: \cos\!\left(\dfrac{1}{n^{2}}\right) tende para \cos(0)=1 quando n\to\infty. Vou usar isso explicitamente nos próximos passos.

Passo 2

Lição rápida e necessária: teste da divergência (condição necessária para convergência).
  • Teorema (condição necessária): Se a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge, então os termos a_{n} devem tender a zero:
\lim_{n\to\infty} a_{n}=0.
  • Explicação curta do porquê: se S_{N}=\sum_{n=1}^{N} a_{n} converge para S, então
a_{N}=S_{N}-S_{N-1}\longrightarrow S-S=0.
Portanto, antes de qualquer teste mais elaborado, sempre verificamos se a_{n}\to0. Se não tender a zero, a série diverge imediatamente.

Passo 3

Aplicando a ideia ao nosso a_{n}.
  • Primeiro note que
\lim_{n\to\infty}\cos\!\left(\frac{1}{n^{2}}\right)=\cos(0)=1.
  • Considere as subsequências par e ímpar:
    • Para n=2k (pares) temos (-1)^{2k}=1, logo
    \lim_{k\to\infty} a_{2k}=\lim_{k\to\infty} 1\cdot\cos\!\left(\frac{1}{(2k)^{2}}\right)=1.
    • Para n=2k+1 (ímpares) temos (-1)^{2k+1}=-1, logo
    \lim_{k\to\infty} a_{2k+1}=\lim_{k\to\infty} (-1)\cdot\cos\!\left(\frac{1}{(2k+1)^{2}}\right)=-1.
  • Conclusão desta análise: as subsequências têm limites distintos ( 1 e -1), portanto a sequência a_{n} não tem limite, e em particular não tende a zero.

Passo 4

Aplicando o teste da divergência:
  • Como os termos a_{n} não tendem a zero, a condição necessária para convergência não é satisfeita.
  • Logo a série não pode convergir; ou seja, a série diverge por não satisfazer \lim_{n\to\infty} a_{n}=0.

    Observação adicional didática (para fixar a ideia): mesmo a versão de teste alternante (Leibniz) não se aplica aqui porque, para essa regra, precisaríamos de termos positivos b_{n} que decrescem a zero; mas aqui a “magnitude” b_{n}=\cos(1/n^{2}) tende a 1, não a 0. Portanto nem condição de convergência condicional é cumprida.

Resposta

A série diverge.

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