Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} \cos \left(1 / n^{2}\right)
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} \cos \left(1 / n^{2}\right)
Passo 1
O enunciado pede para testar se a série
converge ou diverge. Informações dadas e o que precisamos observar:
- A série tem termos
.
- Precisamos decidir se a soma infinita converge (tem valor finito) ou diverge.
- Um fato útil:
tende para quando . Vou usar isso explicitamente nos próximos passos.
Passo 2
Lição rápida e necessária: teste da divergência (condição necessária para convergência).
- Teorema (condição necessária): Se a série
converge, então os termos devem tender a zero:
- Explicação curta do porquê: se
converge para , então
Portanto, antes de qualquer teste mais elaborado, sempre verificamos se
. Se não tender a zero, a série diverge imediatamente.
Passo 3
Aplicando a ideia ao nosso
.
- Primeiro note que
- Considere as subsequências par e ímpar:
- Para
(pares) temos , logo
- Para
(ímpares) temos , logo
- Para
- Conclusão desta análise: as subsequências têm limites distintos (
e ), portanto a sequência não tem limite, e em particular não tende a zero.
Passo 4
Aplicando o teste da divergência:
- Como os termos
não tendem a zero, a condição necessária para convergência não é satisfeita.
- Logo a série não pode convergir; ou seja, a série diverge por não satisfazer
.
Observação adicional didática (para fixar a ideia): mesmo a versão de teste alternante (Leibniz) não se aplica aqui porque, para essa regra, precisaríamos de termos positivosque decrescem a zero; mas aqui a “magnitude” tende a , não a . Portanto nem condição de convergência condicional é cumprida.
Resposta
A série diverge.