Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} \frac{n}{n+2}
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} \frac{n}{n+2}
Passo 1
O enunciado pede para testar se a série
converge ou diverge. As informações dadas são:
- A sequência geral dos termos é
. - A pergunta é única: determinar convergência ou divergência da série dada.
Passo 2
Lembra de um teste básico e obrigatório: se uma série
converge, então necessariamente os termos
devem tender a zero, isto é,
Este fato é uma condição necessária (mas não suficiente) para convergência de séries. Intuição rápida: se os termos não vão para zero, cada novo termo dá um “empurrão” não desprezível na soma parcial, então a soma não pode estabilizar. Vamos usar esse teste (chamado às vezes de “teste do termo geral” ou “nth-term test”).
Passo 3
Vamos calcular o limite do módulo dos termos positivos
Uma maneira prática de calcular
é dividir numerador e denominador por
:
Como
, temos
Logo os módulos dos termos não tendem a zero; tendem a
.
Passo 4
Agora examine o próprio termo com sinal:
. Como
, a sequência
não tende a zero — ela alterna sinais e seus valores absolutos tendem a
. Em particular
Pelo teste do termo geral, se
então a série
diverge. Portanto a série dada diverge.
Passo 5
Para reforçar a compreensão: mesmo sendo uma série com fator alternante
, não podemos aplicar o critério de Leibniz (que dá convergência condicional) porque esse critério exige, entre outras coisas, que os módulos
sejam monotonicamente decrescentes e que
. Aqui temos
, então nem essa condição mínima é satisfeita. Assim, não há convergência condicional nem absoluta. A soma absoluta
também falha no teste do termo geral (os termos não vão a zero), logo diverge.
Resposta
A série diverge.