Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} \frac{n}{n+2}

Passo 1

O enunciado pede para testar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n}{n+2}
converge ou diverge. As informações dadas são:
  • A sequência geral dos termos é a_n = (-1)^{n}\dfrac{n}{n+2}.
  • A pergunta é única: determinar convergência ou divergência da série dada.

Passo 2

Lembra de um teste básico e obrigatório: se uma série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge, então necessariamente os termos a_n devem tender a zero, isto é,
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Este fato é uma condição necessária (mas não suficiente) para convergência de séries. Intuição rápida: se os termos não vão para zero, cada novo termo dá um “empurrão” não desprezível na soma parcial, então a soma não pode estabilizar. Vamos usar esse teste (chamado às vezes de “teste do termo geral” ou “nth-term test”).

Passo 3

Vamos calcular o limite do módulo dos termos positivos
b_n=\frac{n}{n+2}.
Uma maneira prática de calcular \lim_{n\to\infty} b_n é dividir numerador e denominador por n:
\frac{n}{n+2}=\frac{1}{1+\frac{2}{n}}.
Como \lim_{n\to\infty}\dfrac{2}{n}=0, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+2}=\frac{1}{1+0}=1.
Logo os módulos dos termos não tendem a zero; tendem a 1.

Passo 4

Agora examine o próprio termo com sinal: a_n = (-1)^n b_n. Como b_n\to 1, a sequência a_n não tende a zero — ela alterna sinais e seus valores absolutos tendem a 1. Em particular
\lim_{n\to\infty} a_n \quad\text{não é }0.ãé
Pelo teste do termo geral, se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 então a série \sum a_n diverge. Portanto a série dada diverge.

Passo 5

Para reforçar a compreensão: mesmo sendo uma série com fator alternante (-1)^n, não podemos aplicar o critério de Leibniz (que dá convergência condicional) porque esse critério exige, entre outras coisas, que os módulos b_n sejam monotonicamente decrescentes e que b_n\to 0. Aqui temos b_n\to 1, então nem essa condição mínima é satisfeita. Assim, não há convergência condicional nem absoluta. A soma absoluta \sum |a_n| = \sum \dfrac{n}{n+2} também falha no teste do termo geral (os termos não vão a zero), logo diverge.

Resposta

A série diverge.

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