Teste a série quanto a convergência ou divergência:
(a) sumn=2^infty n^3n^4-1
(b) sumn=1^infty n-1n^2 raizn
© sumn=1^infty e^1 / nn
(d) sumn=1^infty n!n^n
(e) sumn=1^infty n+4^nn+6^n
(f) sumn=0^infty 1+sen(n)10^n
(g) sumn=1^infty 1n+n cos ^2(n)
(h) sumn=1^infty 1raiz[3]3 n^4+1.

Passo 1

O enunciado pede testar a convergência das séries (a) a (h). O assunto é testes de convergência de séries numéricas, usando p-séries, comparação limite, teste da razão e comportamento assintótico. Vamos aplicar essas ideias em cada item.

Passo 2

Para a série (a) sumn=2^infty n^3n^4-1, note que para n grande n^3n^4-1simn^3n^4=1n. Aplicando o teste da comparação limite com 1/n: limntoinftyn^3/(n^4-1)1/n=1. Como sum1/n diverge, concluímos que a série (a) diverge.

Passo 3

Na série (b) sumn=1^infty n-1n^2raizn, escrevemos o termo geral como
n-1n^2raizn = nn^5/2 - 1n^5/2 = 1n^3/2 - 1n^5/2
Cada uma dessas p-séries tem expoente p>1, logo ambas convergem, e assim a série (b) converge pela soma de séries convergentes.

Passo 4

Para a série © sumn=1^infty e^1/nn, usamos que e^1/n>1 para todo n, então e^1/nn>1n. Como sum1/n diverge, pela comparação direta a série © também diverge.

Passo 5

Na série (d) sumn=1^infty n!n^n, aplicamos o teste da razão. Seja an=n!n^n. Então
an+1an = (n+1)!/(n+1)^n+1n!/n^n = n^n(n+1)^n = l(nn+1r)^n to e^-1
Como e^-1<1, a série converge.

Passo 6

Para a série (e) sumn=1^infty n+4^nn+6^n, note que para n grande os termos exponenciais dominam:
n+4^nn+6^n sim 4^n6^n = l(23r)^n
Como é uma série geométrica com razão 2/3<1, ela converge.

Passo 7

Na série (f) sumn=0^infty 1+sin(n)10^n, temos -1<=sin(n)<=1, então 0<=1+sin(n)<=2. Assim
l|1+sin(n)10^nr|<=210^n,
e sum2/10^n converge (geométrica com razão 1/10). Logo a série (f) converge absolutamente.

Passo 8

Para a série (g) sumn=1^infty 1n+ncos^2(n), reescrevemos o termo como
1n(1+cos^2(n))
Como 1<=1+cos^2(n)<=2, vale
12n<=1n(1+cos^2(n))<=1n
Como sum1/(2n) diverge, pela comparação direta a série (g) diverge.

Passo 9

Na série (h) sumn=1^infty 1raiz[3]3n^4+1, para n grande
raiz[3]3n^4+1simraiz[3]3,n^4/3,
logo o termo geral se comporta como 1/(3^1/3n^4/3), que é p-série com p=4/3>1. Portanto a série (h) converge.

Resposta

(a) diverge; (b) converge; © diverge; (d) converge; (e) converge; (f) converge; (g) diverge; (h) converge.

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