Teste a simetria de r^{2}=\cos (2 \theta) em relação ao Polo.

Passo 1

O enunciado dá a curva polar
r^{2}=\cos(2\theta)
e pede para testar a simetria em relação ao Polo (o ponto origem do sistema polar).
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação da curva é \,r^{2}=\cos(2\theta)\,.
  • A pergunta é verificar se essa equação é invariante quando aplicamos a transformação que corresponde à simetria em relação ao Polo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender claramente o que significa “simetria em relação ao Polo” em coordenadas polares, de um jeito bem prático. Dois fatos importantes sobre representações polares que vamos usar:
  • Um ponto no plano pode ser representado por (r,\theta) em coordenadas polares. As coordenadas cartesianas correspondentes são x=r\cos\theta e y=r\sin\theta.
  • O mesmo ponto também pode ser representado por (-r,\theta+\pi). Em outras palavras, trocar o sinal de r e somar \pi em \theta dá o mesmo ponto no plano.
A simetria em relação ao Polo (origem) significa que, se (r,\theta) satisfaz a equação da curva, então o ponto obtido pela reflexão através do Polo (isto é, o ponto oposto em relação à origem) também pertence à curva. Em termos algébricos, uma maneira simples de testar isso é verificar se a equação é invariante ao substituir r por -r (ou, equivalentemente, a substituição \theta\mapsto\theta+\pi).

Passo 3

Aplicando a substituição r\mapsto -r diretamente na equação e verificando o que acontece. Substituição:
(-r)^{2}=\cos(2\theta).
Como (-r)^{2}=r^{2}, a igualdade fica
r^{2}=\cos(2\theta),
que é exatamente a equação original. Portanto, pela substituição r\mapsto -r a equação permanece idêntica.

Passo 4

Para reforçar (e porque é útil conhecer a outra forma do teste), fazemos a substituição \theta\mapsto\theta+\pi. Calculamos o lado direito:
\cos\big(2(\theta+\pi)\big)=\cos(2\theta+2\pi).
Como a função cosseno tem período 2\pi, vale \cos(2\theta+2\pi)=\cos(2\theta). Assim, sob \theta\mapsto\theta+\pi a equação também fica
r^{2}=\cos(2\theta),
idêntica à original. As duas verificações mostram que a equação é invariante sob as transformações que representam a reflexão pelo Polo.

Passo 5

Resumo didático e dica para a prova (jeito prático de lembrar): sempre que a equação em polo envolve apenas r^{2} (ou outras potências pares de r) ou quando a parte angular é periódica com período que dispara a invariância por \theta\mapsto\theta+\pi, a curva tende a ser simétrica em relação ao Polo. Aqui a presença de r^{2} foi a prova rápida — trocar r por -r não muda nada.

Resposta

A curva é simétrica em relação ao Polo.

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