Teste a simetria de
em relação ao Polo.
Passo 1
O enunciado dá a curva polar
e pede para testar a simetria em relação ao Polo (o ponto origem do sistema polar).
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação da curva é
. - A pergunta é verificar se essa equação é invariante quando aplicamos a transformação que corresponde à simetria em relação ao Polo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender claramente o que significa “simetria em relação ao Polo” em coordenadas polares, de um jeito bem prático. Dois fatos importantes sobre representações polares que vamos usar:
- Um ponto no plano pode ser representado por
em coordenadas polares. As coordenadas cartesianas correspondentes são e . - O mesmo ponto também pode ser representado por
. Em outras palavras, trocar o sinal de e somar em dá o mesmo ponto no plano.
A simetria em relação ao Polo (origem) significa que, se
satisfaz a equação da curva, então o ponto obtido pela reflexão através do Polo (isto é, o ponto oposto em relação à origem) também pertence à curva. Em termos algébricos, uma maneira simples de testar isso é verificar se a equação é invariante ao substituir
por
(ou, equivalentemente, a substituição
).
Passo 3
Aplicando a substituição
diretamente na equação e verificando o que acontece. Substituição:
Como
, a igualdade fica
que é exatamente a equação original. Portanto, pela substituição
a equação permanece idêntica.
Passo 4
Para reforçar (e porque é útil conhecer a outra forma do teste), fazemos a substituição
. Calculamos o lado direito:
Como a função cosseno tem período
, vale
. Assim, sob
a equação também fica
idêntica à original. As duas verificações mostram que a equação é invariante sob as transformações que representam a reflexão pelo Polo.
Passo 5
Resumo didático e dica para a prova (jeito prático de lembrar): sempre que a equação em polo envolve apenas
(ou outras potências pares de
) ou quando a parte angular é periódica com período que dispara a invariância por
, a curva tende a ser simétrica em relação ao Polo. Aqui a presença de
foi a prova rápida — trocar
por
não muda nada.
Resposta
A curva é simétrica em relação ao Polo.