A curva
é simétrica em relação ao Eixo Polar? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a curva polar
e pergunta se ela é simétrica em relação ao Eixo Polar (o eixo
). Ou seja:
- Dado:
. - Pedido: determinar se a curva é simétrica em relação ao Eixo Polar e justificar.
Passo 2
Recordando o que significa “simetria em relação ao Eixo Polar” para curvas em coordenadas polares: se a curva é simétrica em relação ao Eixo Polar, então, para todo ponto da curva com coordenadas
, o ponto refletido em relação ao eixo (que tem coordenadas
) também pertence à curva. Em termos da equação
, um teste prático é substituir
por
e verificar se a equação permanece válida, isto é, verificar se
para todos os
(ou, em casos admissíveis, se a substituição gera um ponto equivalente em coordenadas polares).
Passo 3
Aplicando esse teste à função dada: calculemos
quando
é substituído por
.
Usamos agora a propriedade da função cosseno:
é uma função par, isto é,
Portanto
Passo 4
Como
para todo
, isso significa que sempre que
é um ponto da curva, o ponto
também é um ponto da curva. Esses dois pontos são exatamente reflexões um do outro em relação ao Eixo Polar. Logo a curva é simétrica em relação ao Eixo Polar.
Passo 5
Observação sobre sinais: mesmo se para algum
o valor
for negativo, a igualdade
garante que os pontos correspondentes aparecem com
oposto e mesmo raio, portanto a simetria em relação ao eixo permanece válida (em coordenadas polares um raio negativo corresponde a um ponto com ângulo deslocado em
, mas a igualdade das funções assegura a correspondência de reflexos apropriada).
Um exemplo rápido para contraste: se tivéssemos , então
em geral, então
não é simétrica em relação ao Eixo Polar. Isso mostra por que verificar paridade (par/ímpar) da função trigonométrica envolvida é um teste simples e direto.
Um exemplo rápido para contraste: se tivéssemos
Resposta
Sim. A curva
é simétrica em relação ao Eixo Polar, pois
.