A curva r=2 \cos (3 \theta) é simétrica em relação ao Eixo Polar? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a curva polar r=2\cos(3\theta) e pergunta se ela é simétrica em relação ao Eixo Polar (o eixo \theta=0). Ou seja:
  • Dado: r=2\cos(3\theta).
  • Pedido: determinar se a curva é simétrica em relação ao Eixo Polar e justificar.

Passo 2

Recordando o que significa “simetria em relação ao Eixo Polar” para curvas em coordenadas polares: se a curva é simétrica em relação ao Eixo Polar, então, para todo ponto da curva com coordenadas (r,\theta), o ponto refletido em relação ao eixo (que tem coordenadas (r,-\theta)) também pertence à curva. Em termos da equação r=f(\theta), um teste prático é substituir \theta por -\theta e verificar se a equação permanece válida, isto é, verificar se
f(-\theta)=f(\theta)
para todos os \theta (ou, em casos admissíveis, se a substituição gera um ponto equivalente em coordenadas polares).

Passo 3

Aplicando esse teste à função dada: calculemos r quando \theta é substituído por -\theta.
r(\!-\theta)=2\cos\bigl(3(-\theta)\bigr)=2\cos(-3\theta).
Usamos agora a propriedade da função cosseno: \cos é uma função par, isto é,
\cos(-x)=\cos x\quad\text{para todo }x.
Portanto
r(\!-\theta)=2\cos(-3\theta)=2\cos(3\theta)=r(\theta).

Passo 4

Como r(-\theta)=r(\theta) para todo \theta, isso significa que sempre que (r(\theta),\theta) é um ponto da curva, o ponto (r(\theta),-\theta) também é um ponto da curva. Esses dois pontos são exatamente reflexões um do outro em relação ao Eixo Polar. Logo a curva é simétrica em relação ao Eixo Polar.

Passo 5

Observação sobre sinais: mesmo se para algum \theta o valor r(\theta) for negativo, a igualdade r(-\theta)=r(\theta) garante que os pontos correspondentes aparecem com \theta oposto e mesmo raio, portanto a simetria em relação ao eixo permanece válida (em coordenadas polares um raio negativo corresponde a um ponto com ângulo deslocado em \pi, mas a igualdade das funções assegura a correspondência de reflexos apropriada).
Um exemplo rápido para contraste: se tivéssemos r=\sin\theta, então r(-\theta)=\sin(-\theta)=-\sin\theta\neq\sin\theta em geral, então r=\sin\theta não é simétrica em relação ao Eixo Polar. Isso mostra por que verificar paridade (par/ímpar) da função trigonométrica envolvida é um teste simples e direto.

Resposta

Sim. A curva r=2\cos(3\theta) é simétrica em relação ao Eixo Polar, pois r(-\theta)=2\cos(-3\theta)=2\cos(3\theta)=r(\theta).

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