Teste a simetria de r=\sin \theta em relação à reta vertical \theta=\pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede que se teste a simetria da curva dada pela equação polar r=\sin\theta em relação à reta vertical \theta=\pi/2.
Informações fornecidas:
  • A curva é descrita em coordenadas polares pela relação r=\sin\theta.
  • A reta em relação à qual se quer testar a simetria é \theta=\pi/2.
O que precisamos responder: a curva r=\sin\theta é simétrica ou não em relação à reta \theta=\pi/2?

Passo 2

Entender o que significa "simetria em relação à reta \theta=\alpha" no plano polar.
  • Em coordenadas polares, um ponto é representado por (r,\theta) (com r podendo ser positivo ou negativo, lembrando da ambiguidade polar).
  • A reflexão de um ponto (r,\theta) em relação à reta que faz ângulo \alpha com o eixo polar corresponde (na representação mais direta) ao ponto (r,2\alpha-\theta). Isso porque a reta \theta=\alpha é o eixo de simetria: o ângulo do ponto refletido fica a mesma distância angular da reta, mas do outro lado.
  • No caso específico \alpha=\pi/2, a reflexão corresponde à substituição
\theta \mapsto 2\cdot\frac{\pi}{2}-\theta = \pi-\theta.
  • Observação sobre ambiguidade polar: quando r for negativo, o mesmo ponto pode ser representado como (-r,\theta+\pi). Para testar simetria algebraicamente, normalmente basta verificar se a equação da curva é preservada por \theta\mapsto \pi-\theta; se a relação entre r e \theta permanece válida após essa substituição, a curva é simétrica.

Passo 3

Aplicar a transformação de reflexão \theta\mapsto \pi-\theta na equação r=\sin\theta.
  • Substituindo, obtemos
r=\sin(\pi-\theta).
  • Usar a identidade trigonométrica conhecida:
\sin(\pi-\theta)=\sin\theta.
  • Portanto a equação transformada é
r=\sin(\pi-\theta)=\sin\theta,
que é exatamente a mesma equação original.

Passo 4

Interpretar o resultado matemático de forma geométrica e com exemplos numéricos (para fixar).
  • A invariância da equação sob \theta\mapsto\pi-\theta significa que, se (r,\theta) pertence à curva, então (r,\pi-\theta) também pertence à curva. Esses dois pontos são reflexos um do outro em relação à reta \theta=\pi/2. Logo, toda a curva é espelhada nessa reta.
  • Exemplo concreto: para \theta=\pi/6 tem-se r=\sin(\pi/6)=\tfrac{1}{2}. O ângulo refletido é \pi-\pi/6=5\pi/6 e r=\sin(5\pi/6)=\tfrac{1}{2} — mesmo r, ponto refletido confirmado.
  • Sobre casos com r<0: mesmo quando a representação polar usa r<0, a relação algébrica r=\sin\theta permanece a mesma após a substituição \theta\mapsto\pi-\theta, então a curva inteira (todos os pontos reais da curva) é simétrica.

Passo 5

Conclusão direta a partir dos cálculos: a equação permanece inalterada ao aplicar a reflexão pela reta \theta=\pi/2; portanto a curva é simétrica em relação a essa reta.

Resposta

Sim. A curva r=\sin\theta é simétrica em relação à reta \theta=\pi/2.

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