Teste a simetria de
em relação à reta vertical
.
Passo 1
O enunciado pede que se teste a simetria da curva dada pela equação polar
em relação à reta vertical
.
Informações fornecidas:
- A curva é descrita em coordenadas polares pela relação
. - A reta em relação à qual se quer testar a simetria é
.
O que precisamos responder: a curva
é simétrica ou não em relação à reta
?
Passo 2
Entender o que significa "simetria em relação à reta
" no plano polar.
- Em coordenadas polares, um ponto é representado por
(com podendo ser positivo ou negativo, lembrando da ambiguidade polar). - A reflexão de um ponto
em relação à reta que faz ângulo com o eixo polar corresponde (na representação mais direta) ao ponto . Isso porque a reta é o eixo de simetria: o ângulo do ponto refletido fica a mesma distância angular da reta, mas do outro lado. - No caso específico
, a reflexão corresponde à substituição
- Observação sobre ambiguidade polar: quando
for negativo, o mesmo ponto pode ser representado como . Para testar simetria algebraicamente, normalmente basta verificar se a equação da curva é preservada por ; se a relação entre e permanece válida após essa substituição, a curva é simétrica.
Passo 3
Aplicar a transformação de reflexão
na equação
.
- Substituindo, obtemos
- Usar a identidade trigonométrica conhecida:
- Portanto a equação transformada é
que é exatamente a mesma equação original.
Passo 4
Interpretar o resultado matemático de forma geométrica e com exemplos numéricos (para fixar).
- A invariância da equação sob
significa que, se pertence à curva, então também pertence à curva. Esses dois pontos são reflexos um do outro em relação à reta . Logo, toda a curva é espelhada nessa reta. - Exemplo concreto: para
tem-se . O ângulo refletido é e — mesmo , ponto refletido confirmado. - Sobre casos com
: mesmo quando a representação polar usa , a relação algébrica permanece a mesma após a substituição , então a curva inteira (todos os pontos reais da curva) é simétrica.
Passo 5
Conclusão direta a partir dos cálculos: a equação permanece inalterada ao aplicar a reflexão pela reta
; portanto a curva é simétrica em relação a essa reta.
Resposta
Sim. A curva
é simétrica em relação à reta
.