Teste se os sistemas mostrados abaixo são lineares.
y(t)=\frac{d u(t)}{d t}

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema
y(t) = \frac{du(t)}{dt}
e pede para verificar se ele é linear, ou seja, se satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Um sistema é linear se, para quaisquer sinais u_1(t) e u_2(t) com saídas y_1(t) e y_2(t), e para qualquer escalar \alpha, são válidas as duas condições:
\text{(Aditividade)}\quad u_1(t)+u_2(t)\;\longrightarrow\;y_1(t)+y_2(t),
\text{(Homogeneidade)}\quad \alpha\,u_1(t)\;\longrightarrow\;\alpha\,y_1(t).

Passo 3

Teste de aditividade: suponha
y_1(t) = \frac{d\,u_1(t)}{dt}, \qquad y_2(t) = \frac{d\,u_2(t)}{dt}.
Para a soma das entradas u_1(t)+u_2(t), a saída do sistema é
\frac{d\bigl[u_1(t)+u_2(t)\bigr]}{dt} = \frac{d\,u_1(t)}{dt} + \frac{d\,u_2(t)}{dt} = y_1(t) + y_2(t),
logo a propriedade de aditividade é satisfeita.

Passo 4

Teste de homogeneidade: para qualquer escalar \alpha, considere a entrada \alpha\,u_1(t). Então a saída é
\frac{d\bigl[\alpha\,u_1(t)\bigr]}{dt} = \alpha\,\frac{d\,u_1(t)}{dt} = \alpha\,y_1(t),
mostrando que a homogeneidade também é válida.

Resposta

O sistema y(t)=\frac{du(t)}{dt} é linear.

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