A tensão de saída de um regulador de tensão é uma variável normal com média de 12 V e desvio padrão de 0,5 \mathrm{~V}.
(a) Qual a probabilidade de que a tensão de saída esteja entre 11,5 \mathrm{~V} e 12,5 \mathrm{~V} ?
(b) Se a tensão de saída é medida 10 vezes, qual a probabilidade de que a média dessas 10 medições esteja entre 11,8 \mathrm{~V} e 12,2 \mathrm{~V} ?
(c) Determine a tensão abaixo da qual estão os 99 \% menores valores de tensão.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (vou listar tudo com calma):
A tensão de saída X é uma variável aleatória com distribuição normal de média \mu=12 V e desvio padrão \sigma=0,5 V.
Pergunta (a): Qual a probabilidade de que a tensão de saída esteja entre 11,5 V e 12,5 V?
Pergunta (b): Se a tensão de saída for medida 10 vezes, qual a probabilidade de que a média amostral \overline{X} dessas 10 medições esteja entre 11,8 V e 12,2 V?
Pergunta (c): Determine a tensão abaixo da qual estão os 99\% menores valores de tensão (ou seja, o percentil de 99\%).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
Se X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, escrevemos X\sim N(\mu,\sigma^2).
Para transformar X numa variável normal padrão (média 0, desvio 1) usamos a padronização
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde Z\sim N(0,1). Isso nos permite usar a tabela (ou tabela aproximada) da distribuição normal padrão para encontrar probabilidades.
Quando trabalhamos com a média de n observações independentes de uma normal, a média amostral \overline{X} também é normal com
Interpretação: cerca de 79{,}41\% de chance da média de 10 leituras ficar nesse intervalo — a média tem menor variabilidade, por isso a probabilidade é maior que no item (a) para intervalos de metade da amplitude.
Passo 6
Resolvendo (c): percentil de 99\%.
Queremos x_{0,99} tal que
P(X\le x_{0,99})=0{,}99.
Usamos a relação
x_{0,99}=\mu+z_{0,99}\sigma,
onde z_{0,99} é o quantil da normal padrão com \Phi(z_{0,99})=0{,}99. O valor tabelado é z_{0,99}\approx 2{,}3263. Portanto