A tensão de saída de um regulador de tensão é uma variável normal com média de 12 V e desvio padrão de 0,5 \mathrm{~V}.
(a) Qual a probabilidade de que a tensão de saída esteja entre 11,5 \mathrm{~V} e 12,5 \mathrm{~V} ?
(b) Se a tensão de saída é medida 10 vezes, qual a probabilidade de que a média dessas 10 medições esteja entre 11,8 \mathrm{~V} e 12,2 \mathrm{~V} ?
(c) Determine a tensão abaixo da qual estão os 99 \% menores valores de tensão.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (vou listar tudo com calma):
  • A tensão de saída X é uma variável aleatória com distribuição normal de média \mu=12 V e desvio padrão \sigma=0,5 V.
  • Pergunta (a): Qual a probabilidade de que a tensão de saída esteja entre 11,5 V e 12,5 V?
  • Pergunta (b): Se a tensão de saída for medida 10 vezes, qual a probabilidade de que a média amostral \overline{X} dessas 10 medições esteja entre 11,8 V e 12,2 V?
  • Pergunta (c): Determine a tensão abaixo da qual estão os 99\% menores valores de tensão (ou seja, o percentil de 99\%).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
  • Se X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, escrevemos X\sim N(\mu,\sigma^2).
  • Para transformar X numa variável normal padrão (média 0, desvio 1) usamos a padronização
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde Z\sim N(0,1). Isso nos permite usar a tabela (ou tabela aproximada) da distribuição normal padrão para encontrar probabilidades.
  • Quando trabalhamos com a média de n observações independentes de uma normal, a média amostral \overline{X} também é normal com
\mathbb{E}(\overline{X})=\mu,\qquad \operatorname{sd}(\overline{X})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Isto significa que para \overline{X} padronizamos com a mesma fórmula, trocando \sigma por \sigma/\sqrt{n}.
  • Para percentis: se queremos x_p tal que P(X\le x_p)=p, então
x_p=\mu+z_p\sigma,
onde z_p é o quantil da normal padrão tal que \Phi(z_p)=p (por exemplo z_{0,99}\approx 2{,}3263).

Passo 3

Resolvendo (a) passo a passo.
Queremos
P(11{,}5\le X\le 12{,}5).
Como a média é 12 V e os limites estão simetricamente a 0{,}5 V da média, podemos padronizar:
Z=\frac{X-12}{0{,}5}.
Os limites padronizados são
\frac{11{,}5-12}{0{,}5}=\frac{-0{,}5}{0{,}5}=-1, \qquad \frac{12{,}5-12}{0{,}5}=\frac{0{,}5}{0{,}5}=1.
Logo
P(11{,}5\le X\le 12{,}5)=P(-1\le Z\le 1)=\Phi(1)-\Phi(-1).
Usando a simetria da normal padrão ( \Phi(-1)=1-\Phi(1)) obtemos
P(-1\le Z\le 1)=2\Phi(1)-1.
Valor tabelado: \Phi(1)\approx 0{,}8413. Assim
P(11{,}5\le X\le 12{,}5)=2\cdot 0{,}8413-1=0{,}6826.
Interpretação: cerca de 68{,}26\% das tensões caem nesse intervalo (é o famoso “1 sigma” da regra empírica).

Passo 4

Preparação para (b): distribuição da média amostral.
  • Temos n=10, \sigma=0{,}5. Então a média amostral \overline{X} tem desvio padrão
\operatorname{sd}(\overline{X})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0{,}5}{\sqrt{10}}.
Calculemos numericamente:
\sqrt{10}\approx 3{,}1623\quad\Rightarrow\quad \operatorname{sd}(\overline{X})\approx\frac{0{,}5}{3{,}1623}\approx 0{,}15811\\ \text{V}.
Como a população é normal, \overline{X} é exatamente normal com média 12 e desvio 0{,}15811.

Passo 5

Resolvendo (b) com padronização.
Queremos
P(11{,}8\le \overline{X}\le 12{,}2).
Padronizando:
Z=\frac{\overline{X}-12}{0{,}15811}.
Os limites padronizados são
\frac{11{,}8-12}{0{,}15811}=\frac{-0{,}2}{0{,}15811}\approx -1{,}2649, \qquad \frac{12{,}2-12}{0{,}15811}=\frac{0{,}2}{0{,}15811}\approx 1{,}2649.
Logo
P(11{,}8\le \overline{X}\le 12{,}2)=P(-1{,}2649\le Z\le 1{,}2649)=2\Phi(1{,}2649)-1.
Buscando na tabela (ou usando interpolação), \Phi(1{,}2649)\approx 0{,}89705. Assim
P(11{,}8\le \overline{X}\le 12{,}2)\approx 2\cdot 0{,}89705-1=0{,}79410.
Interpretação: cerca de 79{,}41\% de chance da média de 10 leituras ficar nesse intervalo — a média tem menor variabilidade, por isso a probabilidade é maior que no item (a) para intervalos de metade da amplitude.

Passo 6

Resolvendo (c): percentil de 99\%.
Queremos x_{0,99} tal que
P(X\le x_{0,99})=0{,}99.
Usamos a relação
x_{0,99}=\mu+z_{0,99}\sigma,
onde z_{0,99} é o quantil da normal padrão com \Phi(z_{0,99})=0{,}99. O valor tabelado é z_{0,99}\approx 2{,}3263. Portanto
x_{0,99}=12+2{,}3263\cdot 0{,}5=12+1{,}16315\approx 13{,}16315\\ \text{V}.
Arredondando de forma sensata: x_{0,99}\approx 13{,}16 V. Ou seja, 99\% das tensões estão abaixo de aproximadamente 13{,}16 V.

Resposta

P(11{,}5\le X\le 12{,}5)\approx 0{,}6826
P(11{,}8\le \overline{X}\le 12{,}2)\approx 0{,}7941
Tensão do 99\% percentil: x_{0,99}\approx 13{,}16\\ \text{V}

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