Teste - Verdadeiro ou Falso
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a derivada direcional de uma função f(x,y,z) na direção do vetor unitário k coincide com a derivada parcial de f em relação a z; vamos usar o conceito de derivada direcional e de gradiente nessa reta ação.
Passo 2
A derivada direcional de f numa direção dada por um vetor unitário u é definida por
o que equivale ao limite do incremento de f ao longo de u dividido por h.
Passo 3
O vetor
corresponde a
, e o gradiente de f é
Fazendo o produto escalar,
Passo 4
Assim obtemos exatamente
confirmando a igualdade.
Resposta
Verdadeiro.