Teste - Verdadeiro ou Falso
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Dk f(x, y, z)=fz(x, y, z)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a derivada direcional de uma função f(x,y,z) na direção do vetor unitário k coincide com a derivada parcial de f em relação a z; vamos usar o conceito de derivada direcional e de gradiente nessa reta ação.

Passo 2

A derivada direcional de f numa direção dada por um vetor unitário u é definida por
Duf(x,y,z)=nabla f(x,y,z)cdot u
o que equivale ao limite do incremento de f ao longo de u dividido por h.

Passo 3

O vetor k corresponde a (0,0,1), e o gradiente de f é
nabla f(x,y,z)=(fx,fy,fz)
Fazendo o produto escalar,
nabla f(x,y,z)cdotk=(fx,fy,fz)cdot(0,0,1)=fz(x,y,z)

Passo 4

Assim obtemos exatamente
Dkf(x,y,z)=nabla f(x,y,z)cdotk=fz(x,y,z),
confirmando a igualdade.

Resposta

Verdadeiro.

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