Num teste para verificar o aproveitamento de 100 estudantes do terceiro ano do Ensino Médio, observou-se o seguinte resultado entre os que conseguiram nota satisfatória em uma só disciplina: Matemática, 18; Física, 20; Química, 22. Em duas das disciplinas: Matemática e Química, 15; Química e Física, 17; Matemática e Física, 9. Nas três disciplinas avaliadas, 6 alunos. O número de estudantes que não obtiveram nota satisfatória em nenhuma das disciplinas avaliadas é:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14.
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que trata de conjuntos e a princípio da inclusão-exclusão. Aqui, queremos descobrir quantos estudantes não obtiveram nota satisfatória em nenhuma das três disciplinas: Matemática, Física e Química. Para isso, vamos analisar quantos estudantes tiraram nota boa em uma, duas ou nas três disciplinas e, com isso, calcular os que não tiveram nenhuma nota satisfatória.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os números que a questão nos deu:
-
Apenas uma disciplina:
- Matemática: 18
- Física: 20
- Química: 22
-
Duas disciplinas:
- Matemática e Química: 15
- Química e Física: 17
- Matemática e Física: 9
-
Todas as três disciplinas:
- 6 alunos
Passo 3
Vamos usar o princípio da inclusão-exclusão para calcular o total de estudantes que obtiveram nota satisfatória em pelo menos uma das disciplinas. A fórmula para três conjuntos é:
Onde:
- $ |A|, |B|, |C| $ são os alunos que tiraram nota em apenas uma disciplina.
- $ |A \cap B|, |A \cap C|, |B \cap C| $ são os alunos que tiraram nota em duas disciplinas.
- $ |A \cap B \cap C| $ são os alunos que tiraram nota nas três disciplinas.
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
Passo 5
Realizando as operações:
Então, 25 estudantes tiraram nota satisfatória em pelo menos uma das disciplinas.
Passo 6
Como temos 100 estudantes no total, para encontrar quantos não obtiveram nota satisfatória em nenhuma disciplina, subtraímos os que tiraram pelo menos uma nota boa:
Resposta
75 estudantes não obtiveram nota satisfatória em nenhuma das disciplinas avaliadas.