Num teste para verificar o aproveitamento de 100 estudantes do terceiro ano do Ensino Médio, observou-se o seguinte resultado entre os que conseguiram nota satisfatória em uma só disciplina: Matemática, 18; Física, 20; Química, 22. Em duas das disciplinas: Matemática e Química, 15; Química e Física, 17; Matemática e Física, 9. Nas três disciplinas avaliadas, 6 alunos. O número de estudantes que não obtiveram nota satisfatória em nenhuma das disciplinas avaliadas é:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que trata de conjuntos e a princípio da inclusão-exclusão. Aqui, queremos descobrir quantos estudantes não obtiveram nota satisfatória em nenhuma das três disciplinas: Matemática, Física e Química. Para isso, vamos analisar quantos estudantes tiraram nota boa em uma, duas ou nas três disciplinas e, com isso, calcular os que não tiveram nenhuma nota satisfatória.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os números que a questão nos deu:
  • Apenas uma disciplina:
    • Matemática: 18
    • Física: 20
    • Química: 22
  • Duas disciplinas:
    • Matemática e Química: 15
    • Química e Física: 17
    • Matemática e Física: 9
  • Todas as três disciplinas:
    • 6 alunos

Passo 3

Vamos usar o princípio da inclusão-exclusão para calcular o total de estudantes que obtiveram nota satisfatória em pelo menos uma das disciplinas. A fórmula para três conjuntos é:
|A cup B cup C| = |A| + |B| + |C| - |A cap B| - |A cap C| - |B cap C| + |A cap B cap C|
Onde:
  • $ |A|, |B|, |C| $ são os alunos que tiraram nota em apenas uma disciplina.
  • $ |A \cap B|, |A \cap C|, |B \cap C| $ são os alunos que tiraram nota em duas disciplinas.
  • $ |A \cap B \cap C| $ são os alunos que tiraram nota nas três disciplinas.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
|A cup B cup C| = 18 + 20 + 22 - 15 - 17 - 9 + 6

Passo 5

Realizando as operações:
|A cup B cup C| = 60 - 41 + 6 = 25
Então, 25 estudantes tiraram nota satisfatória em pelo menos uma das disciplinas.

Passo 6

Como temos 100 estudantes no total, para encontrar quantos não obtiveram nota satisfatória em nenhuma disciplina, subtraímos os que tiraram pelo menos uma nota boa:
Total sem nota satisfatória = 100 - 25 = 75 ó

Resposta

75 estudantes não obtiveram nota satisfatória em nenhuma das disciplinas avaliadas.

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