($5) tetive Taylor chegou à cena do crime e encontrou o sargento inclinado sobre o corpo. O sargento disse que havia vários suspeitos. Se eles soubessem a hora exata da morte, então poderiam reduzir a lista. O detetive Taylor apanhou um termômetro e mediu a temperatura do corpo:
. Depois, saiu para almoçar. Ao retornar às 13 h , descobriu que a temperatura do corpo era
. A que horas ocorreu o assassinato? (considere a temperatura normal do corpo igual a
).
“Todos os que meditaram a arte de governar os homens se convenceram
de que o destino de um país depende da educação dos jovens.”
“Todos os que meditaram a arte de governar os homens se convenceram
de que o destino de um país depende da educação dos jovens.”
de que o destino de um país depende da educação dos jovens.”
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a hora da morte:
- Temperatura normal do corpo (temperatura ao morrer):
. - Primeira medição do corpo:
(essa medição foi feita antes do almoço). - Ao retornar, às
, a segunda medição foi . - O que se pede: determinar a hora em que o assassinato (a morte) ocorreu.
Observação necessária (assunção): o enunciado não disse explicitamente a hora da primeira medição, mas informou que o detetive saiu para almoçar e voltou às
h — a formulação clássica desse problema assume que a primeira medição foi feita às
h (meio-dia) e que entre as medições decorreram exatamente
hora. Vou adotar essa hipótese (primeira medição às
h) para poder resolver o problema. Se você tiver outra hora da primeira medição, me avisa depois que eu refaço os cálculos.
Passo 2
Apresentando a lei usada (Newton do resfriamento) e explicando os termos:
- A lei de Newton do resfriamento diz que a temperatura do corpo
varia exponencialmente em direção à temperatura ambiente . A forma geral é
onde:
-
é a temperatura do corpo no instante (vamos medir em horas desde o momento da morte); -
é a temperatura do corpo imediatamente após a morte (aqui, a temperatura normal: ); -
é a temperatura ambiente (assumimos que é constante durante o intervalo); -
é uma constante (coeficiente de resfriamento) que depende do ambiente e do corpo; -
é a base dos logaritmos naturais. - Informação do enunciado traduzida para a fórmula:
-
. - Supondo que a primeira medição foi em
(horas após a morte) e que essa medição ocorreu às h, então é o tempo decorrido entre a morte e as 12h — é justamente o que queremos encontrar (calcular e depois subtrair de 12h para achar a hora da morte). - A primeira medição:
. - A segunda medição, uma hora depois:
.
-
- Ainda precisamos de
. O enunciado não especifica a temperatura ambiente; muitos exercícios desse tipo assumem uma temperatura ambiente razoável (por exemplo, ). Vou assumir (valor típico de sala). Com essa hipótese podemos determinar e . (Se você preferir outra , os passos são os mesmos e eu reenfeito os números.)
Passo 3
Escrevendo as duas equações de Newton para as duas medições e isolando exponenciais:
- Para
:
- Para
:
- Calculando a diferença inicial
, as equações ficam:
- Subtraindo
nas duas:
Passo 4
Encontrando
a partir da razão das duas equações (a eliminação de
):
- Dividindo a segunda equação pela primeira para eliminar
:
- Agora aplicamos o logaritmo natural para achar
:
- Calculando numericamente:
Explicação do passo do log: aplicamos
porque
. O valor de
mede a rapidez com que o corpo troca calor com o ambiente: quanto maior
, mais rápido o resfriamento.
Passo 5
Encontrando
(tempo entre a morte e a primeira medição às 12h):
- Da equação
isolamos :
- Tomando logaritmo:
- Substituindo
:
- Converter
horas em horas e minutos:
ou seja,
horas e aproximadamente
minutos.
Passo 6
Determinar a hora da morte subtraindo
de
h (hora da primeira medição):
- Se a primeira medição foi às
h e até essa medição se passaram horas minutos desde a morte, então a morte ocorreu por volta de
- Em linguagem cotidiana: aproximadamente às
h min da manhã.
Resposta
9h43min (aproximadamente)