($5) tetive Taylor chegou à cena do crime e encontrou o sargento inclinado sobre o corpo. O sargento disse que havia vários suspeitos. Se eles soubessem a hora exata da morte, então poderiam reduzir a lista. O detetive Taylor apanhou um termômetro e mediu a temperatura do corpo: 34,5^{\circ} \mathrm{C}. Depois, saiu para almoçar. Ao retornar às 13 h , descobriu que a temperatura do corpo era 33,7^{\circ} \mathrm{C}. A que horas ocorreu o assassinato? (considere a temperatura normal do corpo igual a 36.5^{\circ} \mathrm{C} ).
“Todos os que meditaram a arte de governar os homens se convenceram
de que o destino de um país depende da educação dos jovens.”

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a hora da morte:
  • Temperatura normal do corpo (temperatura ao morrer): \,36{,}5^\circ\mathrm{C}.
  • Primeira medição do corpo: \,34{,}5^\circ\mathrm{C} (essa medição foi feita antes do almoço).
  • Ao retornar, às \,13\text{ h}, a segunda medição foi \,33{,}7^\circ\mathrm{C}.
  • O que se pede: determinar a hora em que o assassinato (a morte) ocorreu.
Observação necessária (assunção): o enunciado não disse explicitamente a hora da primeira medição, mas informou que o detetive saiu para almoçar e voltou às \,13h — a formulação clássica desse problema assume que a primeira medição foi feita às \,12h (meio-dia) e que entre as medições decorreram exatamente 1 hora. Vou adotar essa hipótese (primeira medição às \,12h) para poder resolver o problema. Se você tiver outra hora da primeira medição, me avisa depois que eu refaço os cálculos.

Passo 2

Apresentando a lei usada (Newton do resfriamento) e explicando os termos:
  • A lei de Newton do resfriamento diz que a temperatura do corpo T(t) varia exponencialmente em direção à temperatura ambiente T_a. A forma geral é
T(t)=T_a+\bigl(T(0)-T_a\bigr)e^{-k t},
onde:
  • T(t) é a temperatura do corpo no instante t (vamos medir t em horas desde o momento da morte);
  • T(0) é a temperatura do corpo imediatamente após a morte (aqui, a temperatura normal: \,36{,}5^\circ\mathrm{C});
  • T_a é a temperatura ambiente (assumimos que é constante durante o intervalo);
  • k>0 é uma constante (coeficiente de resfriamento) que depende do ambiente e do corpo;
  • e é a base dos logaritmos naturais.
  • Informação do enunciado traduzida para a fórmula:
    • T(0)=36{,}5.
    • Supondo que a primeira medição foi em t=t_1 (horas após a morte) e que essa medição ocorreu às 12h, então t_1 é o tempo decorrido entre a morte e as 12h — é justamente o que queremos encontrar (calcular t_1 e depois subtrair de 12h para achar a hora da morte).
    • A primeira medição: T(t_1)=34{,}5.
    • A segunda medição, uma hora depois: T(t_1+1)=33{,}7.
  • Ainda precisamos de T_a. O enunciado não especifica a temperatura ambiente; muitos exercícios desse tipo assumem uma temperatura ambiente razoável (por exemplo, 20^\circ\mathrm{C}). Vou assumir T_a=20{,}0^\circ\mathrm{C} (valor típico de sala). Com essa hipótese podemos determinar k e t_1. (Se você preferir outra T_a, os passos são os mesmos e eu reenfeito os números.)

Passo 3

Escrevendo as duas equações de Newton para as duas medições e isolando exponenciais:
  • Para t=t_1:
34{,}5 = 20{,}0 + \bigl(36{,}5-20{,}0\bigr)e^{-k t_1}.
  • Para t=t_1+1:
33{,}7 = 20{,}0 + \bigl(36{,}5-20{,}0\bigr)e^{-k (t_1+1)}.
  • Calculando a diferença inicial \,36{,}5-20{,}0=16{,}5, as equações ficam:
34{,}5 = 20{,}0 + 16{,}5\,e^{-k t_1},
33{,}7 = 20{,}0 + 16{,}5\,e^{-k t_1}e^{-k}.
  • Subtraindo 20{,}0 nas duas:
14{,}5 = 16{,}5\,e^{-k t_1},
13{,}7 = 16{,}5\,e^{-k t_1}e^{-k}.

Passo 4

Encontrando k a partir da razão das duas equações (a eliminação de e^{-k t_1}):
  • Dividindo a segunda equação pela primeira para eliminar e^{-k t_1}:
\frac{13{,}7}{14{,}5} = e^{-k}.
  • Agora aplicamos o logaritmo natural para achar k:
-k = \ln\!\left(\frac{13{,}7}{14{,}5}\right) \quad\Rightarrow\quad k = -\ln\!\left(\frac{13{,}7}{14{,}5}\right).
  • Calculando numericamente:
\frac{13{,}7}{14{,}5}\approx 0{,}944827586,
k \approx -\ln(0{,}944827586)\approx 0{,}0567\\ \text{(h}^{-1}\text{)}.
Explicação do passo do log: aplicamos \ln porque \ln(e^{-k})=-k. O valor de k mede a rapidez com que o corpo troca calor com o ambiente: quanto maior k, mais rápido o resfriamento.

Passo 5

Encontrando t_1 (tempo entre a morte e a primeira medição às 12h):
  • Da equação \,14{,}5 = 16{,}5\,e^{-k t_1} isolamos e^{-k t_1}:
e^{-k t_1} = \frac{14{,}5}{16{,}5} \approx 0{,}878787879.
  • Tomando logaritmo:
-k t_1 = \ln(0{,}878787879) \quad\Rightarrow\quad t_1 = -\frac{1}{k}\ln(0{,}878787879).
  • Substituindo k\approx 0{,}0567:
t_1 \approx -\frac{1}{0{,}0567}\ln(0{,}878787879)\approx 2{,}28\\ \text{horas}.
  • Converter 2{,}28 horas em horas e minutos:
0{,}28\\ \text{h} \times 60\\ \frac{\text{min}}{\text{h}} \approx 16{,}8\\ \text{min},
ou seja, 2 horas e aproximadamente 17 minutos.

Passo 6

Determinar a hora da morte subtraindo t_1 de \,12h (hora da primeira medição):
  • Se a primeira medição foi às 12{,}00h e até essa medição se passaram \,2 horas 17 minutos desde a morte, então a morte ocorreu por volta de
12{,}00\\ \text{h} - 2\\ \text{h}\\\ 17\\ \text{min} \approx 9{,}43\\ \text{h}.
  • Em linguagem cotidiana: aproximadamente às 9h 43min da manhã.

Resposta

9h43min (aproximadamente)

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