Questão: Sabendo que
, derive implicitamente e encontre
função de
e
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos: a igualdade dada é
O que se pede: derivar implicitamente e encontrar
(derivada de
em relação a
) em função de
e
.
Observações importantes (dados relevantes do enunciado):
pois
está presente e o logaritmo natural exige argumento positivo. Além disso, assume-se que
é diferenciável.
Passo 2
Primeiro passo técnico útil: simplificar a derivação usando a identidade do logaritmo
Isto é útil porque facilita calcular a derivada, já que a derivada de
é conhecida e a de
envolve
. Vou explicar essas derivadas: a regra básica é
para
, e pela regra da cadeia, se
então
Portanto, usando
teremos depois
Passo 3
Agora vamos derivar ambos os lados da igualdade dada em relação a
. Do lado esquerdo temos o produto de duas funções de
:
A regra do produto diz que
Vou aplicar isso: precisamos de
(já indicado no passo anterior) e de
. Para
, pela regra da cadeia,
Passo 4
Derivando o lado esquerdo com tudo explícito: usando
e
, obtemos
Passo 5
Derivando o lado direito: para
aplicamos a regra da cadeia, lembrando que
depende de
. Assim
Passo 6
Igualando as derivadas (derivada do lado esquerdo = derivada do lado direito) obtemos a equação implícita para
:
Passo 7
Agora vamos isolar
. Primeiro expandimos e agrupamos termos que contêm
:
Colocando todos os termos com
no lado esquerdo e os demais no lado direito (ou reorganizando para isolar
):
Passo 8
Fatorando
no lado esquerdo:
Portanto
Passo 9
Podemos simplificar a escrita multiplicando numerador e denominador por
(isso elimina a fração interna no denominador), obtendo uma forma mais limpa:
Essa é a expressão de
em termos de
e
.