Questão: Sabendo que y=y(x), derive implicitamente e encontre y^{\prime} \mathrm{em} função de x e y
\ln [x y] e^{x^{2}}=e^{y^{2}}

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos: a igualdade dada é
\ln\bigl(xy\bigr)\,e^{x^{2}}=e^{y^{2}}.
O que se pede: derivar implicitamente e encontrar y' (derivada de y em relação a x) em função de x e y.
Observações importantes (dados relevantes do enunciado):
xy>0
pois \ln\bigl(xy\bigr) está presente e o logaritmo natural exige argumento positivo. Além disso, assume-se que y=y(x) é diferenciável.

Passo 2

Primeiro passo técnico útil: simplificar a derivação usando a identidade do logaritmo
\ln\bigl(xy\bigr)=\ln x+\ln y.
Isto é útil porque facilita calcular a derivada, já que a derivada de \ln x é conhecida e a de \ln y envolve y'. Vou explicar essas derivadas: a regra básica é
\frac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr)=\frac{1}{x},
para x>0, e pela regra da cadeia, se y=y(x) então
\frac{d}{dx}\bigl(\ln y\bigr)=\frac{1}{y}\cdot y'.
Portanto, usando \ln(xy)=\ln x+\ln y teremos depois
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(xy)\bigr)=\frac{1}{x}+\frac{y'}{y}.

Passo 3

Agora vamos derivar ambos os lados da igualdade dada em relação a x. Do lado esquerdo temos o produto de duas funções de x:
u(x)=\ln\bigl(xy\bigr)\quad\text{e}\quad v(x)=e^{x^{2}}.
A regra do produto diz que
\frac{d}{dx}\bigl(u v\bigr)=u'\,v+u\,v'.
Vou aplicar isso: precisamos de u' (já indicado no passo anterior) e de v'. Para v(x)=e^{x^{2}}, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^{2}}\bigr)=e^{x^{2}}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=e^{x^{2}}\cdot 2x.

Passo 4

Derivando o lado esquerdo com tudo explícito: usando \dfrac{d}{dx}\ln(xy)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{y'}{y} e \dfrac{d}{dx}e^{x^{2}}=2x e^{x^{2}}, obtemos
\frac{d}{dx}\Bigl(\ln(xy)\,e^{x^{2}}\Bigr)=\Bigl(\frac{1}{x}+\frac{y'}{y}\Bigr)e^{x^{2}}+\ln(xy)\cdot 2x e^{x^{2}}.

Passo 5

Derivando o lado direito: para e^{y^{2}} aplicamos a regra da cadeia, lembrando que y depende de x. Assim
\frac{d}{dx}\bigl(e^{y^{2}}\bigr)=e^{y^{2}}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr)=e^{y^{2}}\cdot 2y\,y'.

Passo 6

Igualando as derivadas (derivada do lado esquerdo = derivada do lado direito) obtemos a equação implícita para y':
\Bigl(\frac{1}{x}+\frac{y'}{y}\Bigr)e^{x^{2}}+\ln(xy)\cdot 2x e^{x^{2}}=2y\,y'\,e^{y^{2}}.

Passo 7

Agora vamos isolar y'. Primeiro expandimos e agrupamos termos que contêm y':
\frac{1}{x}e^{x^{2}}+\frac{y'}{y}e^{x^{2}}+2x\ln(xy)\,e^{x^{2}}=2y\,y'\,e^{y^{2}}.
Colocando todos os termos com y' no lado esquerdo e os demais no lado direito (ou reorganizando para isolar y'):
\frac{y'}{y}e^{x^{2}}-2y\,y'\,e^{y^{2}}=-\frac{1}{x}e^{x^{2}}-2x\ln(xy)\,e^{x^{2}}.

Passo 8

Fatorando y' no lado esquerdo:
y'\Bigl(\frac{e^{x^{2}}}{y}-2y\,e^{y^{2}}\Bigr)=-e^{x^{2}}\Bigl(\frac{1}{x}+2x\ln(xy)\Bigr).
Portanto
y'=\frac{-e^{x^{2}}\Bigl(\dfrac{1}{x}+2x\ln(xy)\Bigr)}{\dfrac{e^{x^{2}}}{y}-2y\,e^{y^{2}}}.

Passo 9

Podemos simplificar a escrita multiplicando numerador e denominador por y (isso elimina a fração interna no denominador), obtendo uma forma mais limpa:
y'=\frac{-y\,e^{x^{2}}\Bigl(\dfrac{1}{x}+2x\ln(xy)\Bigr)}{e^{x^{2}}-2y^{2}e^{y^{2}}}.
Essa é a expressão de y' em termos de x e y.

Resposta

y'=\frac{-y\,e^{x^{2}}\Bigl(\dfrac{1}{x}+2x\ln(xy)\Bigr)}{e^{x^{2}}-2y^{2}e^{y^{2}}}

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